Problema 1(2,0) Calcule:
\cos \left(165^{\circ}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular \cos\bigl(165^\circ\bigr). Vamos usar identidades trigonométricas de soma e diferença de ângulos para escrever esse cosseno em termos de ângulos cujo valor conhecemos.

Passo 2

Repare que
165^\circ = 180^\circ - 15^\circ
e que vale a identidade
\cos\bigl(180^\circ - \theta\bigr) = -\cos\theta.
Logo,
\cos\bigl(165^\circ\bigr) = -\cos\bigl(15^\circ\bigr).

Passo 3

Para achar \cos\bigl(15^\circ\bigr) usamos a fórmula de diferença
\cos(a - b) = \cos a\,\cos b + \sin a\,\sin b
com a = 45^\circ e b = 30^\circ. Então
\cos\bigl(15^\circ\bigr) = \cos\bigl(45^\circ-30^\circ\bigr) = \cos45^\circ\,\cos30^\circ + \sin45^\circ\,\sin30^\circ = \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2} + \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4}.

Passo 4

Substituindo em \cos\bigl(165^\circ\bigr) = -\cos\bigl(15^\circ\bigr), obtemos
\cos\bigl(165^\circ\bigr) = -\,\frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4}.

Resposta

-\frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4}

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