\mathrm{v}(\mathrm{t})=\left(\mathrm{t}^{2}\right) \mathrm{i}+(\mathrm{t}) \mathrm{j}+(2) \mathrm{k}. a) Determinar \mathrm{r}(\mathrm{t}) com \mathrm{r}(0)=0. b) Calcular \mathrm{a}(\mathrm{t}). c) Determinar o raio de curvatura em \mathrm{t}=1.
Vamos encontrar \mathbf{r}(t) integrando componente a componente porque \mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t). Explicando a ideia: para vetores, integrar é integrar cada componente separadamente. Se \mathbf{v}(t)=(v_x(t),v_y(t),v_z(t)) e \mathbf{r}'(t)=\mathbf{v}(t), então
Agora calculamos a aceleração \mathbf{a}(t). Conceito: aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja \mathbf{a}(t)=\mathbf{v}'(t)=\mathbf{r}''(t). Derivamos cada componente de \mathbf{v}(t):
Agora vamos ao raio de curvatura em t=1. Primeiro explico o que é e a fórmula que vamos usar de forma prática e direta: o raio de curvatura \rho (também chamado de raio da linha de curvatura) está ligado à curvatura \kappa por \rho=1/\kappa. Para uma curva no espaço parametrizada por tempo com velocidade \mathbf{v}(t) e aceleração \mathbf{a}(t), uma forma conveniente de calcular \kappa é