\mathrm{v}(\mathrm{t})=\left(\mathrm{t}^{2}\right) \mathrm{i}+(\mathrm{t}) \mathrm{j}+(2) \mathrm{k}. a) Determinar \mathrm{r}(\mathrm{t}) com \mathrm{r}(0)=0. b) Calcular \mathrm{a}(\mathrm{t}). c) Determinar o raio de curvatura em \mathrm{t}=1.

Passo 1

O enunciado dá a velocidade vetorial
\mathbf{v}(t)=\bigl(t^{2}\bigr)\,\mathbf{i}+\bigl(t\bigr)\,\mathbf{j}+\bigl(2\bigr)\,\mathbf{k}
e pede três coisas:
  1. Determinar a posição \mathbf{r}(t) sabendo que \mathbf{r}(0)=\mathbf{0}.
  2. Calcular a aceleração \mathbf{a}(t).
  3. Determinar o raio de curvatura no instante t=1.
Informações relevantes listadas:
\mathbf{v}(t)=\bigl(v_x(t),v_y(t),v_z(t)\bigr)=\bigl(t^{2},\,t,\,2\bigr).
Condição inicial:
\mathbf{r}(0)=\mathbf{0}=\bigl(0,0,0\bigr).

Passo 2

Vamos encontrar \mathbf{r}(t) integrando componente a componente porque \mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t). Explicando a ideia: para vetores, integrar é integrar cada componente separadamente. Se \mathbf{v}(t)=(v_x(t),v_y(t),v_z(t)) e \mathbf{r}'(t)=\mathbf{v}(t), então
\mathbf{r}(t)=\int \mathbf{v}(t)\,dt = \Bigl(\int v_x(t)\,dt,\;\int v_y(t)\,dt,\;\int v_z(t)\,dt\Bigr)+\mathbf{C},
onde \mathbf{C}=(C_x,C_y,C_z) é o vetor de constantes de integração.
Integramos cada componente:
  • Para v_x(t)=t^{2},
\int t^{2}\,dt=\frac{t^{3}}{3}+C_x.
  • Para v_y(t)=t,
\int t\,dt=\frac{t^{2}}{2}+C_y.
  • Para v_z(t)=2 (constante),
\int 2\,dt=2t+C_z.
Portanto, antes de usar a condição inicial,
\mathbf{r}(t)=\frac{t^{3}}{3}\,\mathbf{i}+\frac{t^{2}}{2}\,\mathbf{j}+2t\,\mathbf{k}+\bigl(C_x\,\mathbf{i}+C_y\,\mathbf{j}+C_z\,\mathbf{k}\bigr).

Passo 3

Aplicamos a condição \mathbf{r}(0)=\mathbf{0} para achar as constantes C_x,C_y,C_z. Avaliando em t=0:
\mathbf{r}(0)=\frac{0^{3}}{3}\,\mathbf{i}+\frac{0^{2}}{2}\,\mathbf{j}+2\cdot 0\,\mathbf{k}+\bigl(C_x\,\mathbf{i}+C_y\,\mathbf{j}+C_z\,\mathbf{k}\bigr)=C_x\,\mathbf{i}+C_y\,\mathbf{j}+C_z\,\mathbf{k}.
Queremos que isso seja \mathbf{0}, então C_x=C_y=C_z=0. Logo
\boxed{\mathbf{r}(t)=\frac{t^{3}}{3}\,\mathbf{i}+\frac{t^{2}}{2}\,\mathbf{j}+2t\,\mathbf{k}.}

Passo 4

Agora calculamos a aceleração \mathbf{a}(t). Conceito: aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja \mathbf{a}(t)=\mathbf{v}'(t)=\mathbf{r}''(t). Derivamos cada componente de \mathbf{v}(t):
  • Derivada de t^{2} é 2t.
  • Derivada de t é 1.
  • Derivada de 2 é 0.
Portanto
\boxed{\mathbf{a}(t)=2t\,\mathbf{i}+1\,\mathbf{j}+0\,\mathbf{k}=2t\,\mathbf{i}+\mathbf{j}.}

Passo 5

Agora vamos ao raio de curvatura em t=1. Primeiro explico o que é e a fórmula que vamos usar de forma prática e direta: o raio de curvatura \rho (também chamado de raio da linha de curvatura) está ligado à curvatura \kappa por \rho=1/\kappa. Para uma curva no espaço parametrizada por tempo com velocidade \mathbf{v}(t) e aceleração \mathbf{a}(t), uma forma conveniente de calcular \kappa é
\kappa(t)=\frac{\lVert \mathbf{v}(t)\times\mathbf{a}(t)\rVert}{\lVert \mathbf{v}(t)\rVert^{3}}.
Logo
\rho(t)=\frac{1}{\kappa(t)}=\frac{\lVert \mathbf{v}(t)\rVert^{3}}{\lVert \mathbf{v}(t)\times\mathbf{a}(t)\rVert}.
Vou aplicar essa fórmula em t=1.

Passo 6

Calculamos \mathbf{v}(1) e \mathbf{a}(1). Usando as expressões encontradas:
\mathbf{v}(1)=\bigl(1^{2},\,1,\,2\bigr)=(1,1,2),
\mathbf{a}(1)=\bigl(2\cdot 1,\,1,\,0\bigr)=(2,1,0).

Passo 7

Precisamos do produto vetorial \mathbf{v}(1)\times\mathbf{a}(1). Vou calcular pelo determinante (regra prática com \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}):
\mathbf{v}(1)\times\mathbf{a}(1)= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 1 & 2 \\\\ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix}.
Expandindo:
  • Componente em \mathbf{i}: 1\cdot 0 - 2\cdot 1 = -2.
  • Componente em \mathbf{j}: -(1\cdot 0 - 2\cdot 2)= - (0-4)=4.
  • Componente em \mathbf{k}: 1\cdot 1 - 1\cdot 2 = 1-2 = -1.
Portanto
\mathbf{v}(1)\times\mathbf{a}(1)=(-2)\,\mathbf{i}+4\,\mathbf{j}+(-1)\,\mathbf{k}.
Agora calculamos a norma desse vetor:
\lVert \mathbf{v}(1)\times\mathbf{a}(1)\rVert=\sqrt{(-2)^{2}+4^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{4+16+1}=\sqrt{21}.

Passo 8

Calculamos a norma de \mathbf{v}(1):
\lVert \mathbf{v}(1)\rVert=\sqrt{1^{2}+1^{2}+2^{2}}=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}.
Usamos a fórmula do raio de curvatura:
\rho(1)=\frac{\lVert \mathbf{v}(1)\rVert^{3}}{\lVert \mathbf{v}(1)\times\mathbf{a}(1)\rVert} =\frac{\bigl(\sqrt{6}\bigr)^{3}}{\sqrt{21}} =\frac{6\sqrt{6}}{\sqrt{21}}.

Passo 9

Simplificamos a expressão exata. Observando que
\frac{6\sqrt{6}}{\sqrt{21}}=6\sqrt{\frac{6}{21}}=6\sqrt{\frac{2}{7}}.
Outra forma equivalente é
6\sqrt{\frac{2}{7}}=\frac{6\sqrt{14}}{7}.
Se quiser um valor aproximado, isso dá
\rho(1)\approx 3{,}2071.

Resposta

\displaystyle \mathbf{r}(t)=\frac{t^{3}}{3}\,\mathbf{i}+\frac{t^{2}}{2}\,\mathbf{j}+2t\,\mathbf{k}
\displaystyle \mathbf{a}(t)=2t\,\mathbf{i}+\mathbf{j}
\displaystyle \rho(1)=6\sqrt{\frac{2}{7}}=\frac{6\sqrt{14}}{7}\approx 3{,}2071

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