x=t^{2}, y=e^{t}. a) Obter y(x). b) Calcular v(t) e a(t). c) Determinar o raio de curvatura em \mathrm{t}=0.
Passo 1
O enunciado dá a parametrização
x(t)=t^{2},\qquad y(t)=e^{t}
e pede três coisas:
a) obter a relação y(x) — isto é, escrever y em função de x;
b) calcular v(t) e a(t) — aqui vamos entender v(t) e a(t) como os vetores velocidade e aceleração da curva paramétrica;
c) determinar o raio de curvatura em t=0.
Informações relevantes que temos: t é o parâmetro real, x(t)=t^{2} implica x\ge 0 para valores reais de t, e y(t)=e^{t}>0 para todo t. Não há outras hipóteses no enunciado.
Passo 2
Encontrando y(x) (eliminação do parâmetro). Vou eliminar t entre x=t^{2} e y=e^{t}.
Primeira maneira (direta): de x=t^{2} temos
t=\pm\sqrt{x},
valendo esta igualdade para x\ge 0. Substituindo em y=e^{t} vem
y=e^{\pm\sqrt{x}}.
Isso mostra que, como função de x, a curva tem duas “ramificações” possíveis: y=e^{\sqrt{x}} (quando t=\sqrt{x}) e y=e^{-\sqrt{x}} (quando t=-\sqrt{x}). Ambas só fazem sentido para x\ge 0 e, em qualquer caso, y>0.
Segunda maneira (alternativa e útil para ver implicitamente): de y=e^{t} temos t=\ln y. Substituindo em x=t^{2} obtemos a relação implícita
x=(\ln y)^{2},
que é equivalente a y=e^{\pm\sqrt{x}} depois de isolar y. Esta forma implícita também mostra que y>0 (pois \ln y existe apenas para y>0) e que x\ge 0.
Observação didática curta: quando se elimina o parâmetro e aparece t=\pm\sqrt{x}, isto indica que a curva em coordenadas cartesianas pode ter duas curvas sobrepostas em x (duas alturas y para o mesmo x), correspondendo a valores positivos e negativos de t.
Passo 3
Cálculo das derivadas: vamos obter as derivadas temporais de x e y, que são necessárias para velocidade, aceleração e curvatura.
Derivando x(t)=t^{2} em relação a t obtemos
x'(t)=\frac{dx}{dt}=2t.
Derivando novamente,
x''(t)=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=2.
Derivando y(t)=e^{t} em relação a t obtemos
y'(t)=\frac{dy}{dt}=e^{t}.
Derivando novamente,
y''(t)=\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=e^{t}.
Aqui uma mini-aula sobre derivadas que usamos: a derivada \frac{d}{dt} mede a taxa de variação da coordenada em função do tempo t. Para potências simples, \frac{d}{dt}t^{n}=nt^{n-1}; para exponencial, \frac{d}{dt}e^{t}=e^{t}. Essas regras foram aplicadas acima.
Passo 4
Velocidade e aceleração vetoriais. Definições e aplicação:
Definição: o vetor velocidade é
\mathbf{v}(t)=\left(x'(t),\,y'(t)\right),
e o vetor aceleração é
\mathbf{a}(t)=\left(x''(t),\,y''(t)\right).
Usando as derivadas do passo anterior:
\mathbf{v}(t)=\bigl(2t,\;e^{t}\bigr),
\mathbf{a}(t)=\bigl(2,\;e^{t}\bigr).
Velocidade escalar (módulo da velocidade, isto é, velocidade linear ou rapidez) é útil também; ela é dada por
Comentário didático: \mathbf{v}(t) aponta tangencialmente à curva no instante t; \mathbf{a}(t) contém a variação dessa velocidade, possuindo componentes tangenciais e normais.
Passo 5
Fórmula da curvatura e razão para o raio de curvatura. Explico a fórmula que vamos usar.
Para uma curva planar parametrizada por t com x(t),y(t) duas vezes diferenciáveis, a curvatura \kappa(t) é dada por
Esta fórmula vem da medida de “viragem” da tangente por unidade de comprimento; o numerador é o determinante que mede a componente normal da aceleração, e o denominador normaliza pelo cubo do módulo da velocidade. O raio de curvatura \rho(t) é o inverso da curvatura:
Agora aplicamos em t=0. Primeiro calculamos as quantidades necessárias no ponto t=0:
a) x'(0)=2\cdot 0=0.
b) y'(0)=e^{0}=1.
c) x''(0)=2.
d) y''(0)=e^{0}=1.
Breve comentário para prova: em cálculos de curvatura, calcular cuidadosamente x',y',x'',y'' e avaliar no ponto simplifica muito; muitas vezes vários termos zeram, como aqui x'(0)=0.
Resposta
a) y=e^{\pm\sqrt{x}} (para x\ge 0; equivalently x=(\ln y)^{2}, com y>0).
b) \mathbf{v}(t)=\bigl(2t,\;e^{t}\bigr),\qquad \mathbf{a}(t)=\bigl(2,\;e^{t}\bigr) (e \lVert\mathbf{v}(t)\rVert=\sqrt{4t^{2}+e^{2t}}).
c) raio de curvatura em t=0: \rho(0)=\dfrac{1}{2}.