\mathrm{v}(\mathrm{t})=(\mathrm{t}) \mathrm{i}+(\sin \mathrm{t}) \mathrm{j}. a) Determinar \mathrm{r}(\mathrm{t}). b) Calcular \mathrm{a}(\mathrm{t}). c) Determinar o raio de curvatura para \mathrm{t}=\pi / 4.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Dado: a velocidade vetorial
\mathbf{v}(t)= (t)\,\mathbf{i} + (\sin t)\,\mathbf{j}.
  • Perguntas:
    a) Determinar \mathbf{r}(t) (a posição) — isto é, encontrar uma antiderivada de \mathbf{v}(t).
    b) Calcular \mathbf{a}(t) (a aceleração) — isto é, a derivada de \mathbf{v}(t).
    c) Determinar o raio de curvatura no instante t=\pi/4.
Observação importante (da própria equação): não foi dada uma condição inicial para \mathbf{r}(t), então a solução para a posição terá constantes de integração gerais (duas constantes, uma para cada componente).

Passo 2

Como obter \mathbf{r}(t): lembrando que a velocidade é a derivada da posição,
\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t).
Para obter \mathbf{r}(t) fazemos integração componente a componente. Vou rever rapidamente as regras que usamos para integrar funções simples:
  • A integral de t em relação a t é \displaystyle \int t\,dt = \frac{t^2}{2} + C (regra do polinômio / power rule).
  • A integral de \sin t é \displaystyle \int \sin t\,dt = -\cos t + C (fato padrão de trigonometria e integração).
Aplicando isso componente a componente:
\text{componente }x:\quad \int t\,dt = \frac{t^2}{2}+C_1,
\text{componente }y:\quad \int \sin t\,dt = -\cos t + C_2.
As constantes C_1,C_2 representam a posição inicial desconhecida (por exemplo \mathbf{r}(0)=(C_1,-1+C_2) se quiser relacionar).

Passo 3

Escrevendo o vetor posição encontrado:
\mathbf{r}(t)=\left(\frac{t^2}{2}+C_1\right)\mathbf{i} + \left(-\cos t + C_2\right)\mathbf{j},
onde C_1 e C_2 são constantes de integração (determinadas se houver uma condição inicial).

Passo 4

Como obter \mathbf{a}(t): a aceleração é a derivada da velocidade,
\mathbf{a}(t)=\mathbf{v}'(t).
Relembrando derivadas simples que usamos:
  • \dfrac{d}{dt}t = 1.
  • \dfrac{d}{dt}\sin t = \cos t.
Derivando componente a componente:
\mathbf{a}(t)= 1\cdot\mathbf{i} + (\cos t)\,\mathbf{j}.

Passo 5

Explicar o raio de curvatura (intuição e fórmula): o raio de curvatura \rho(t) mede “o quão curvada” está a trajetória em cada instante; quanto maior \rho, mais “achatada” a curva; quanto menor \rho, mais curva (menor raio de curvatura = mais curvatura).
Duas fórmulas equivalentes úteis:
  • Usando produto vetorial em 3D (tratar vetores do plano como vetores em \mathbb{R}^3 com componente z=0):
\kappa(t)=\frac{\|\mathbf{v}(t)\times\mathbf{a}(t)\|}{\|\mathbf{v}(t)\|^3},\qquad \rho(t)=\frac{1}{\kappa(t)}.
  • Fórmula prática em coordenadas planas: se \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)), com x'=dx/dt,\;y'=dy/dt,\;x''=d^2x/dt^2,\;y''=d^2y/dt^2, então a curvatura é
\kappa(t)=\frac{|x'y''-y'x''|}{(x'^2+y'^2)^{3/2}},
e o raio de curvatura
\rho(t)=\frac{(x'^2+y'^2)^{3/2}}{|x'y''-y'x''|}.
Aqui x',y' são as componentes da velocidade e x'',y'' as da aceleração. Vou usar esta segunda fórmula porque é direta para curvas no plano.

Passo 6

Aplicando a fórmula ao caso dado:
Identificamos as componentes
x'(t)=t,\qquad y'(t)=\sin t,
e as segundas derivadas (já calculadas no passo da aceleração)
x''(t)=1,\qquad y''(t)=\cos t.
Calculemos as quantidades da fórmula:
  • Soma dos quadrados das velocidades:
x'^2+y'^2 = t^2 + \sin^2 t.
  • Determinante (que aparece no numerador da curvatura):
x'y''-y'x'' = t\cos t - \sin t.
Assim a curvatura é
\kappa(t)=\frac{|t\cos t - \sin t|}{\bigl(t^2+\sin^2 t\bigr)^{3/2}},
e o raio de curvatura
\rho(t)=\frac{\bigl(t^2+\sin^2 t\bigr)^{3/2}}{|t\cos t - \sin t|}.

Passo 7

Avaliação em t=\pi/4:
Primeiro calcule t^2+\sin^2 t em t=\pi/4:
t^2+\sin^2 t = \left(\frac{\pi}{4}\right)^2 + \sin^2\!\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi^2}{16} + \frac{1}{2} = \frac{\pi^2+8}{16}.
Elevar à potência 3/2:
\bigl(t^2+\sin^2 t\bigr)^{3/2}\Big|_{t=\pi/4} = \left(\frac{\pi^2+8}{16}\right)^{3/2} = \frac{(\pi^2+8)^{3/2}}{16^{3/2}} = \frac{(\pi^2+8)^{3/2}}{64}.
Agora o determinante em t=\pi/4:
t\cos t - \sin t \Big|_{t=\pi/4} = \frac{\pi}{4}\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right) - \sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{\pi}{4}-1\right) = \frac{\sqrt{2}\,(\pi-4)}{8}.
O valor absoluto é
\left|t\cos t - \sin t\right|\Big|_{t=\pi/4} = \frac{\sqrt{2}\,(4-\pi)}{8},
pois 4-\pi>0.
Dividindo (numerador sobre denominador) obtemos o raio de curvatura em t=\pi/4:
\rho\!\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\dfrac{(\pi^2+8)^{3/2}}{64}}{\dfrac{\sqrt{2}\,(4-\pi)}{8}} = \frac{(\pi^2+8)^{3/2}}{64}\cdot\frac{8}{\sqrt{2}\,(4-\pi)} = \frac{(\pi^2+8)^{3/2}}{8\sqrt{2}\,(4-\pi)}.
Se quiser uma aproximação numérica rápida: \pi\approx3{,}1416 leva a um valor positivo finito (mas aqui mantemos a forma exata).

Resposta

\displaystyle \mathbf{r}(t)=\left(\frac{t^2}{2}+C_1\right)\mathbf{i} + \left(-\cos t + C_2\right)\mathbf{j}\n
\displaystyle \mathbf{a}(t)=\mathbf{i}+\cos t\,\mathbf{j}\n
\displaystyle \rho\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{(\pi^2+8)^{3/2}}{8\sqrt{2}\,(4-\pi)}

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