\mathrm{v}(\mathrm{t})=(\mathrm{t}) \mathrm{i}+(\sin \mathrm{t}) \mathrm{j}. a) Determinar \mathrm{r}(\mathrm{t}). b) Calcular \mathrm{a}(\mathrm{t}). c) Determinar o raio de curvatura para \mathrm{t}=\pi / 4.
Perguntas:
a) Determinar \mathbf{r}(t) (a posição) — isto é, encontrar uma antiderivada de \mathbf{v}(t).
b) Calcular \mathbf{a}(t) (a aceleração) — isto é, a derivada de \mathbf{v}(t).
c) Determinar o raio de curvatura no instante t=\pi/4.
Observação importante (da própria equação): não foi dada uma condição inicial para \mathbf{r}(t), então a solução para a posição terá constantes de integração gerais (duas constantes, uma para cada componente).
Passo 2
Como obter \mathbf{r}(t): lembrando que a velocidade é a derivada da posição,
\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t).
Para obter \mathbf{r}(t) fazemos integração componente a componente. Vou rever rapidamente as regras que usamos para integrar funções simples:
A integral de t em relação a t é \displaystyle \int t\,dt = \frac{t^2}{2} + C (regra do polinômio / power rule).
A integral de \sin t é \displaystyle \int \sin t\,dt = -\cos t + C (fato padrão de trigonometria e integração).
Explicar o raio de curvatura (intuição e fórmula): o raio de curvatura \rho(t) mede “o quão curvada” está a trajetória em cada instante; quanto maior \rho, mais “achatada” a curva; quanto menor \rho, mais curva (menor raio de curvatura = mais curvatura).
Duas fórmulas equivalentes úteis:
Usando produto vetorial em 3D (tratar vetores do plano como vetores em \mathbb{R}^3 com componente z=0):