\mathrm{v}(\mathrm{t})=(2 \mathrm{t}) \mathrm{i}+\left(3 \mathrm{t}^{2}\right) \mathrm{j}. a) Determinar \mathrm{r}(\mathrm{t}) considerando \mathrm{r}(0)=0. b) Calcular \mathrm{a}(\mathrm{t}). c ) Determinar a trajectória.

Passo 1

O enunciado fornece a velocidade vetorial
\mathrm{v}(\mathrm{t})=(2\mathrm{t})\,\mathrm{i}+\left(3\mathrm{t}^{2}\right)\,\mathrm{j}
e pede três coisas:
  1. Determinar \mathrm{r}(\mathrm{t}) sabendo que \mathrm{r}(0)=0.
  2. Calcular \mathrm{a}(\mathrm{t}).
  3. Determinar a trajectória (ou seja, a equação do lugar geométrico percorrido no plano).
As informações relevantes: a expressão de \mathrm{v}(\mathrm{t}) (componentes em \mathrm{i} e \mathrm{j}) e a condição inicial \mathrm{r}(0)=0.

Passo 2

Conceitos fundamentais (passo-a-passo, sem pressa):
  • Posição, velocidade e aceleração são vetores que dependem de \mathrm{t}. A relação entre eles é dada por derivadas e integrais:
    \mathrm{v}(\mathrm{t})=\frac{d}{d\mathrm{t}}\mathrm{r}(\mathrm{t}),\qquad \mathrm{a}(\mathrm{t})=\frac{d}{d\mathrm{t}}\mathrm{v}(\mathrm{t}).
    Isso significa que, para obter \mathrm{r}(\mathrm{t}) a partir de \mathrm{v}(\mathrm{t}), integramos \mathrm{v}(\mathrm{t}) componente a componente. Para obter \mathrm{a}(\mathrm{t}), derivamos \mathrm{v}(\mathrm{t}) componente a componente.
  • Integração componente a componente: se \mathrm{v}(\mathrm{t})=v_x(\mathrm{t})\,\mathrm{i}+v_y(\mathrm{t})\,\mathrm{j}, então
    \mathrm{r}(\mathrm{t})=\left(\int v_x(\mathrm{t})\,d\mathrm{t}\right)\mathrm{i}+\left(\int v_y(\mathrm{t})\,d\mathrm{t}\right)\mathrm{j},
    mais constantes de integração (uma para cada componente). Essas constantes são determinadas por condições iniciais, aqui \mathrm{r}(0)=0.
  • Derivação componente a componente: se \mathrm{v}(\mathrm{t})=v_x(\mathrm{t})\,\mathrm{i}+v_y(\mathrm{t})\,\mathrm{j}, então
    \mathrm{a}(\mathrm{t})=v_x'(\mathrm{t})\,\mathrm{i}+v_y'(\mathrm{t})\,\mathrm{j}.
    Regras básicas: \frac{d}{d\mathrm{t}}(\mathrm{t}^n)=n\mathrm{t}^{\,n-1}.
Vou aplicar essas ideias com calma nas componentes dadas.

Passo 3

Calcular \mathrm{r}(\mathrm{t}) integrando \mathrm{v}(\mathrm{t}) componente a componente.
A componente x da velocidade é v_x(\mathrm{t})=2\mathrm{t}. Integramos:
\int 2\mathrm{t}\,d\mathrm{t}=2\cdot\frac{\mathrm{t}^2}{2}=\mathrm{t}^2.
Ao integrar adicionamos uma constante C_1, então a componente x de \mathrm{r}(\mathrm{t}) é \mathrm{t}^2+C_1.
A componente y da velocidade é v_y(\mathrm{t})=3\mathrm{t}^2. Integramos:
\int 3\mathrm{t}^2\,d\mathrm{t}=3\cdot\frac{\mathrm{t}^3}{3}=\mathrm{t}^3.
Ao integrar adicionamos constante C_2, então a componente y de \mathrm{r}(\mathrm{t}) é \mathrm{t}^3+C_2.
Assim, antes de aplicar condição inicial:
\mathrm{r}(\mathrm{t})=\big(\mathrm{t}^2+C_1\big)\,\mathrm{i}+\big(\mathrm{t}^3+C_2\big)\,\mathrm{j}.

Passo 4

Aplicar a condição inicial \mathrm{r}(0)=0 para determinar C_1 e C_2.
Avaliaremos \mathrm{r}(0):
\mathrm{r}(0)=\big(0^2+C_1\big)\,\mathrm{i}+\big(0^3+C_2\big)\,\mathrm{j}=C_1\,\mathrm{i}+C_2\,\mathrm{j}.
Como \mathrm{r}(0)=0 (o vetor nulo), precisamos de C_1=0 e C_2=0.
Portanto, a posição é
\mathrm{r}(\mathrm{t})=\mathrm{t}^2\,\mathrm{i}+\mathrm{t}^3\,\mathrm{j}.

Passo 5

Calcular \mathrm{a}(\mathrm{t}) derivando \mathrm{v}(\mathrm{t}) componente a componente.
Temos \mathrm{v}(\mathrm{t})=(2\mathrm{t})\,\mathrm{i}+(3\mathrm{t}^2)\,\mathrm{j}.
Derivando a componente x: \frac{d}{d\mathrm{t}}(2\mathrm{t})=2.
Derivando a componente y: \frac{d}{d\mathrm{t}}(3\mathrm{t}^2)=3\cdot 2\mathrm{t}=6\mathrm{t}.
Logo
\mathrm{a}(\mathrm{t})=2\,\mathrm{i}+6\mathrm{t}\,\mathrm{j}.

Passo 6

Determinar a trajectória: eliminar o parâmetro \mathrm{t} entre x(\mathrm{t}) e y(\mathrm{t}).
Da posição obtida no Passo 4 temos
x(\mathrm{t})=\mathrm{t}^2,\qquad y(\mathrm{t})=\mathrm{t}^3.
Para eliminar \mathrm{t} observe que x(\mathrm{t})^3=(\mathrm{t}^2)^3=\mathrm{t}^6 e y(\mathrm{t})^2=(\mathrm{t}^3)^2=\mathrm{t}^6. Portanto
y^2=x^3.
Essa é a equação cartesiana da trajectória. Importante notar o domínio/orientação:
  • Como x(\mathrm{t})=\mathrm{t}^2, temos x\ge 0 para todo \mathrm{t}.
  • Valores de y positivos correspondem a \mathrm{t}>0 e valores negativos a \mathrm{t}<0. A curva tem um cúspide na origem e é percorrida conforme \mathrm{t} varia (para \mathrm{t} crescente a partícula vai da origem para fora seguindo a parametrização (\mathrm{t}^2,\mathrm{t}^3)).
Forma alternativa (quando x\neq 0): \mathrm{t}=\dfrac{y}{x}, porque \dfrac{y}{x}=\dfrac{\mathrm{t}^3}{\mathrm{t}^2}=\mathrm{t}. Mas a forma mais limpa e tradicional da trajectória é a cartesiana y^2=x^3 com x\ge 0.

Resposta

\mathrm{r}(\mathrm{t})=\mathrm{t}^2\,\mathrm{i}+\mathrm{t}^3\,\mathrm{j}
\mathrm{a}(\mathrm{t})=2\,\mathrm{i}+6\mathrm{t}\,\mathrm{j}
Trajectória: y^2=x^3 com x\ge 0 (parametrizada por (x,y)=(\mathrm{t}^2,\mathrm{t}^3)).

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