. a) Determinar
considerando
. b) Calcular
. c
Determinar a trajectória.
Passo 1
O enunciado fornece a velocidade vetorial
e pede três coisas:
- Determinar
sabendo que . - Calcular
. - Determinar a trajectória (ou seja, a equação do lugar geométrico percorrido no plano).
As informações relevantes: a expressão de
(componentes em
e
) e a condição inicial
.
Passo 2
Conceitos fundamentais (passo-a-passo, sem pressa):
-
Posição, velocidade e aceleração são vetores que dependem de
. A relação entre eles é dada por derivadas e integrais: Isso significa que, para obtera partir de , integramos componente a componente. Para obter , derivamos componente a componente. -
Integração componente a componente: se
, então mais constantes de integração (uma para cada componente). Essas constantes são determinadas por condições iniciais, aqui. -
Derivação componente a componente: se
, então Regras básicas:.
Vou aplicar essas ideias com calma nas componentes dadas.
Passo 3
Calcular
integrando
componente a componente.
A componente
da velocidade é
. Integramos:
Ao integrar adicionamos uma constante
, então a componente
de
é
.
A componente
da velocidade é
. Integramos:
Ao integrar adicionamos constante
, então a componente
de
é
.
Assim, antes de aplicar condição inicial:
Passo 4
Aplicar a condição inicial
para determinar
e
.
Avaliaremos
:
Como
(o vetor nulo), precisamos de
e
.
Portanto, a posição é
Passo 5
Calcular
derivando
componente a componente.
Temos
.
Derivando a componente :
.
Derivando a componente :
.
Derivando a componente
Derivando a componente
Logo
Passo 6
Determinar a trajectória: eliminar o parâmetro
entre
e
.
Da posição obtida no Passo 4 temos
Para eliminar
observe que
e
. Portanto
Essa é a equação cartesiana da trajectória. Importante notar o domínio/orientação:
- Como
, temos para todo . - Valores de
positivos correspondem a e valores negativos a . A curva tem um cúspide na origem e é percorrida conforme varia (para crescente a partícula vai da origem para fora seguindo a parametrização ).
Forma alternativa (quando
):
, porque
. Mas a forma mais limpa e tradicional da trajectória é a cartesiana
com
.
Resposta
Trajectória: