\mathrm{x}=2 \sin \mathrm{t}, \mathrm{y}=\cos (2 \mathrm{t}). a) Determinar a trajectória. b) Calcular o raio de curvatura em t =\pi / 4. c) Determinar o tipo de movimento.
Passo 1
O enunciado dá as equações paramétricas da posição de uma partícula:
x(t)=2\sin t,\qquad y(t)=\cos(2t).
Pede-se:
a) determinar a trajetória (isto é, a relação entre x e y, eliminando t);
b) calcular o raio de curvatura no instante t=\pi/4;
c) determinar o tipo de movimento (por exemplo: retilíneo/curvilíneo, uniforme/não uniforme, periódico/aperiódico, etc.).
Informações relevantes dadas: as funções x(t) e y(t) para todo t real; podemos usar identidades trigonométricas e derivadas em função de t.
Passo 2
Vamos eliminar t para achar a equação da curva. Uma identidade útil é a fórmula do cosseno do ângulo duplo:
Como \sin t\in[-1,1], temos x=2\sin t\in[-2,2]. Conclusão: a partícula descreve o trecho da parábola y=1-\dfrac{x^2}{2} para x\in[-2,2].
Passo 3
Para o raio de curvatura precisamos das derivadas de x(t) e y(t). Vamos lembrar rapidamente como derivar: a derivada de \sin t é \cos t; de \cos(2t) aplicamos a regra da cadeia: \dfrac{d}{dt}\cos(2t)=-\sin(2t)\cdot 2.
Agora avaliamo essas derivadas em t=\pi/4. Para t=\pi/4 temos \sin(\pi/4)=\cos(\pi/4)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \sin(2\cdot\pi/4)=\sin(\pi/2)=1 e \cos(2\cdot\pi/4)=\cos(\pi/2)=0. Então
x'(\pi/4)=2\cos(\pi/4)=\sqrt{2},
x''(\pi/4)=-2\sin(\pi/4)=-\sqrt{2},
y'(\pi/4)=-2\sin(\pi/2)=-2,
y''(\pi/4)=-4\cos(\pi/2)=0.
Passo 4
A curvatura \kappa(t) de uma curva plana parametrizada por t é dada por
Explicando: x' e y' são as velocidades nas direções x e y; x'' e y'' são acelerações. O numerador mede a componente da aceleração que “faz a curva” (é proporcional à área formada pelos vetores velocidade e aceleração). O denominador normaliza pela velocidade ao cubo para obter um valor geométrico da curvatura.
Essa expressão depende de t (por exemplo, em t=0 tem valor diferente de t=\pi/4), logo a velocidade não é constante. Portanto é um movimento não uniforme.
Periodicidade: x(t)=2\sin t tem período 2\pi e y(t)=\cos(2t) tem período \pi. Para que ambos se repitam simultaneamente precisamos do mínimo múltiplo comum, que é 2\pi. Assim a trajetória e o movimento são periódicos com período 2\pi (isto é, o estado da partícula repete-se cada 2\pi unidades de tempo). Concluímos que o movimento é curvilíneo, não uniforme e periódico (período 2\pi).
Um comentário final de colega: é um movimento agradável — a partícula vai indo e voltando ao longo do ramo da parábola entre x=-2 e x=2, com velocidade que varia no tempo; no instante \pi/4 a curvatura dá um raio relativamente simples 3\sqrt{3}, que já calculamos.
Resposta
a) y=1-\dfrac{x^2}{2}, com x\in[-2,2].\n
b) \rho(\pi/4)=3\sqrt{3}.\n
c) Movimento curvilíneo, não uniforme e periódico (período 2\pi).