\mathrm{x}=2 \sin \mathrm{t}, \mathrm{y}=\cos (2 \mathrm{t}). a) Determinar a trajectória. b) Calcular o raio de curvatura em t =\pi / 4. c) Determinar o tipo de movimento.

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas da posição de uma partícula:
x(t)=2\sin t,\qquad y(t)=\cos(2t).
Pede-se:
a) determinar a trajetória (isto é, a relação entre x e y, eliminando t);
b) calcular o raio de curvatura no instante t=\pi/4;
c) determinar o tipo de movimento (por exemplo: retilíneo/curvilíneo, uniforme/não uniforme, periódico/aperiódico, etc.).
Informações relevantes dadas: as funções x(t) e y(t) para todo t real; podemos usar identidades trigonométricas e derivadas em função de t.

Passo 2

Vamos eliminar t para achar a equação da curva. Uma identidade útil é a fórmula do cosseno do ângulo duplo:
\cos(2t)=1-2\sin^2 t.
Da expressão x(t)=2\sin t obtemos
\sin t=\frac{x}{2}.
Substituindo na identidade do duplo ângulo:
y=\cos(2t)=1-2\sin^2 t=1-2\left(\frac{x}{2}\right)^2.
Agora simplificamos:
1-2\left(\frac{x^2}{4}\right)=1-\frac{x^2}{2}.
Portanto a trajetória é a parábola
y=1-\frac{x^2}{2}.
Como \sin t\in[-1,1], temos x=2\sin t\in[-2,2]. Conclusão: a partícula descreve o trecho da parábola y=1-\dfrac{x^2}{2} para x\in[-2,2].

Passo 3

Para o raio de curvatura precisamos das derivadas de x(t) e y(t). Vamos lembrar rapidamente como derivar: a derivada de \sin t é \cos t; de \cos(2t) aplicamos a regra da cadeia: \dfrac{d}{dt}\cos(2t)=-\sin(2t)\cdot 2.
Calculamos:
x'(t)=\frac{d}{dt}\big(2\sin t\big)=2\cos t,
x''(t)=\frac{d}{dt}\big(2\cos t\big)=-2\sin t,
y'(t)=\frac{d}{dt}\big(\cos(2t)\big)=-2\sin(2t),
y''(t)=\frac{d}{dt}\big(-2\sin(2t)\big)=-4\cos(2t).
Agora avaliamo essas derivadas em t=\pi/4. Para t=\pi/4 temos \sin(\pi/4)=\cos(\pi/4)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \sin(2\cdot\pi/4)=\sin(\pi/2)=1 e \cos(2\cdot\pi/4)=\cos(\pi/2)=0. Então
x'(\pi/4)=2\cos(\pi/4)=\sqrt{2},
x''(\pi/4)=-2\sin(\pi/4)=-\sqrt{2},
y'(\pi/4)=-2\sin(\pi/2)=-2,
y''(\pi/4)=-4\cos(\pi/2)=0.

Passo 4

A curvatura \kappa(t) de uma curva plana parametrizada por t é dada por
\kappa(t)=\frac{\big|x'(t)\,y''(t)-y'(t)\,x''(t)\big|}{\big(x'(t)^2+y'(t)^2\big)^{3/2}}.
Explicando: x' e y' são as velocidades nas direções x e y; x'' e y'' são acelerações. O numerador mede a componente da aceleração que “faz a curva” (é proporcional à área formada pelos vetores velocidade e aceleração). O denominador normaliza pela velocidade ao cubo para obter um valor geométrico da curvatura.
Substituindo os valores em t=\pi/4:
\text{numerador}=\big|x'(\pi/4)\,y''(\pi/4)-y'(\pi/4)\,x''(\pi/4)\big| =\big|\sqrt{2}\cdot 0 - (-2)\cdot(-\sqrt{2})\big| =\big|0-2\sqrt{2}\big|=2\sqrt{2}.
\text{denominador}=\big(x'(\pi/4)^2+y'(\pi/4)^2\big)^{3/2} =\big((\sqrt{2})^2+(-2)^2\big)^{3/2} =\big(2+4\big)^{3/2}=6^{3/2}=6\sqrt{6}.
Logo
\kappa(\pi/4)=\frac{2\sqrt{2}}{6\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{6}}.
Simplificando a raiz:
\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{6}}=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{2}{6}}=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{1}{3\sqrt{3}}.
O raio de curvatura \rho é o inverso da curvatura:
\rho(\pi/4)=\frac{1}{\kappa(\pi/4)}=3\sqrt{3}.

Passo 5

Vamos caracterizar o tipo de movimento.
  1. Movimento retilíneo vs curvilíneo: a trajetória é a parábola y=1-\dfrac{x^2}{2}, portanto o movimento é curvilíneo (não retilíneo).
  2. Movimento uniforme vs não uniforme: a velocidade escalar é
v(t)=\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}=\sqrt{4\cos^2 t+4\sin^2(2t)}=2\sqrt{\cos^2 t+\sin^2(2t)}.
Essa expressão depende de t (por exemplo, em t=0 tem valor diferente de t=\pi/4), logo a velocidade não é constante. Portanto é um movimento não uniforme.
  1. Periodicidade: x(t)=2\sin t tem período 2\pi e y(t)=\cos(2t) tem período \pi. Para que ambos se repitam simultaneamente precisamos do mínimo múltiplo comum, que é 2\pi. Assim a trajetória e o movimento são periódicos com período 2\pi (isto é, o estado da partícula repete-se cada 2\pi unidades de tempo). Concluímos que o movimento é curvilíneo, não uniforme e periódico (período 2\pi).
Um comentário final de colega: é um movimento agradável — a partícula vai indo e voltando ao longo do ramo da parábola entre x=-2 e x=2, com velocidade que varia no tempo; no instante \pi/4 a curvatura dá um raio relativamente simples 3\sqrt{3}, que já calculamos.

Resposta

a) y=1-\dfrac{x^2}{2}, com x\in[-2,2].\n
b) \rho(\pi/4)=3\sqrt{3}.\n
c) Movimento curvilíneo, não uniforme e periódico (período 2\pi).

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