. a) Determinar a equação da trajectória. b) Calcular o raio de curvatura em
. c) Calcular
.
Passo 1
O enunciado dá as coordenadas paramétricas de uma trajetória no plano:
As perguntas são:
a) Determinar a equação da trajetória (eliminar e obter
em função de
).
b) Calcular o raio de curvatura em .
c) Calcular as componentes normal e tangencial da aceleração, e
, em
.
a) Determinar a equação da trajetória (eliminar
b) Calcular o raio de curvatura em
c) Calcular as componentes normal e tangencial da aceleração,
Informações relevantes fornecidas: as fórmulas paramétricas acima bastam para obter todas as derivadas necessárias (velocidade e aceleração) e aplicar as fórmulas de curvatura e das componentes da aceleração.
Passo 2
Primeiro eliminamos o parâmetro
para achar a equação da trajetória. Como
, temos
Substituindo na expressão de
,
Vamos simplificar passo a passo:
portanto
Essa é a equação da trajetória
.
Passo 3
Agora calculamos as derivadas temporais necessárias (derivamos em relação a
). Definimos:
Derivando as expressões dadas:
Passo 4
Explico as fórmulas que vamos usar para curvatura e componentes da aceleração:
- Curvatura
para curvas paramétricas (com parâmetro arbitrário, aqui ) é dada por
Aqui
e
são as derivadas de primeira ordem e
,
as de segunda ordem; o numerador é a magnitude do determinante formado por velocidades e acelerações e o denominador normaliza pela velocidade ao cubo.
- O raio de curvatura
é o inverso da curvatura:
- Para as componentes da aceleração: seja
a velocidade e a aceleração. A componente tangencial é
onde
e
. A componente normal (módulo) pode ser obtida por
que é o mesmo que
. Note que
pode ser negativo (indica que a velocidade escalar está diminuindo), enquanto
é uma magnitude não-negativa.
Passo 5
Calculamos
em
. Primeiro avaliamos as derivadas em
:
Agora o numerador da fórmula da curvatura:
O denominador é
Portanto
O raio de curvatura em
é
Passo 6
Agora vamos calcular as componentes da aceleração em
. Primeiro a velocidade geral é
O módulo da velocidade (a rapidez) é
Em
,
A aceleração é
Em
,
Passo 7
Calculamos
em
usando
O produto escalar em
é
Logo
Simplificando a forma racionalizada,
(O sinal negativo indica que a rapidez está diminuindo em
.)
Passo 8
Calculamos
em
. Usamos a fórmula
Já calculamos o numerador em Passo 5:
. Então
Racionalizando/simplificando,
Também podemos verificar pela relação
:
e
, então
, consistente.
Resposta
(a)
(b)
(c) \n
(b)
(c)