x=3 t, y=2 t^{2}-t^{3}. a) Determinar a equação da trajectória. b) Calcular o raio de curvatura em t=1. c) Calcular a_{n} e a_{t}.

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas paramétricas de uma trajetória no plano:
x=3t,\qquad y=2t^{2}-t^{3}.
As perguntas são:
a) Determinar a equação da trajetória (eliminar t e obter y em função de x).
b) Calcular o raio de curvatura em t=1.
c) Calcular as componentes normal e tangencial da aceleração, a_{n} e a_{t}, em t=1.
Informações relevantes fornecidas: as fórmulas paramétricas acima bastam para obter todas as derivadas necessárias (velocidade e aceleração) e aplicar as fórmulas de curvatura e das componentes da aceleração.

Passo 2

Primeiro eliminamos o parâmetro t para achar a equação da trajetória. Como x=3t, temos
t=\frac{x}{3}.
Substituindo na expressão de y,
y = 2\left(\frac{x}{3}\right)^{2} - \left(\frac{x}{3}\right)^{3}.
Vamos simplificar passo a passo:
\left(\frac{x}{3}\right)^{2}=\frac{x^{2}}{9},\qquad \left(\frac{x}{3}\right)^{3}=\frac{x^{3}}{27},
portanto
y = 2\cdot\frac{x^{2}}{9} - \frac{x^{3}}{27} = \frac{2}{9}x^{2} - \frac{1}{27}x^{3}.
Essa é a equação da trajetória y(x).

Passo 3

Agora calculamos as derivadas temporais necessárias (derivamos em relação a t). Definimos:
x'(t)=\frac{dx}{dt},\quad x''(t)=\frac{d^{2}x}{dt^{2}},\quad y'(t)=\frac{dy}{dt},\quad y''(t)=\frac{d^{2}y}{dt^{2}}.
Derivando as expressões dadas:
x'(t)=3,\qquad x''(t)=0,
y'(t)=\frac{d}{dt}(2t^{2}-t^{3})=4t-3t^{2},
y''(t)=\frac{d}{dt}(4t-3t^{2})=4-6t.

Passo 4

Explico as fórmulas que vamos usar para curvatura e componentes da aceleração:
  • Curvatura \kappa(t) para curvas paramétricas (x(t),y(t)) (com parâmetro arbitrário, aqui t) é dada por
\kappa(t)=\frac{|x'(t)\,y''(t)-y'(t)\,x''(t)|}{\bigl(x'(t)^{2}+y'(t)^{2}\bigr)^{3/2}}.
Aqui x' e y' são as derivadas de primeira ordem e x'', y'' as de segunda ordem; o numerador é a magnitude do determinante formado por velocidades e acelerações e o denominador normaliza pela velocidade ao cubo.
  • O raio de curvatura \rho(t) é o inverso da curvatura:
\rho(t)=\frac{1}{\kappa(t)}.
  • Para as componentes da aceleração: seja \mathbf{v}=(x',y') a velocidade e \mathbf{a}=(x'',y'') a aceleração. A componente tangencial é
a_{t}=\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}}{\|\mathbf{v}\|},
onde \mathbf{v}\cdot\mathbf{a}=x'x''+y'y'' e \|\mathbf{v}\|=\sqrt{x'^{2}+y'^{2}}. A componente normal (módulo) pode ser obtida por
a_{n}=\frac{|x'y''-y'x''|}{\|\mathbf{v}\|},
que é o mesmo que \|\mathbf{v}\|^{2}\kappa. Note que a_{t} pode ser negativo (indica que a velocidade escalar está diminuindo), enquanto a_{n} é uma magnitude não-negativa.

Passo 5

Calculamos \kappa em t=1. Primeiro avaliamos as derivadas em t=1:
x'(1)=3,\quad x''(1)=0,
y'(1)=4\cdot 1 - 3\cdot 1^{2}=1,
y''(1)=4-6\cdot 1=-2.
Agora o numerador da fórmula da curvatura:
|x'(1)\,y''(1)-y'(1)\,x''(1)| = |3\cdot(-2) - 1\cdot 0| = |-6| = 6.
O denominador é
\bigl(x'(1)^{2}+y'(1)^{2}\bigr)^{3/2} = (3^{2}+1^{2})^{3/2} = (9+1)^{3/2} = 10^{3/2} = 10\sqrt{10}.
Portanto
\kappa(1)=\frac{6}{10\sqrt{10}}=\frac{3}{5\sqrt{10}}.
O raio de curvatura em t=1 é
\rho(1)=\frac{1}{\kappa(1)}=\frac{1}{3/(5\sqrt{10})}=\frac{5\sqrt{10}}{3}.

Passo 6

Agora vamos calcular as componentes da aceleração em t=1. Primeiro a velocidade geral é
\mathbf{v}(t)=(x'(t),y'(t))=\bigl(3,\;4t-3t^{2}\bigr).
O módulo da velocidade (a rapidez) é
\|\mathbf{v}(t)\|=\sqrt{3^{2}+(4t-3t^{2})^{2}}=\sqrt{9+(4t-3t^{2})^{2}}.
Em t=1,
\|\mathbf{v}(1)\|=\sqrt{9+1^{2}}=\sqrt{10}.
A aceleração é
\mathbf{a}(t)=(x''(t),y''(t))=(0,\;4-6t).
Em t=1,
\mathbf{a}(1)=(0,-2).

Passo 7

Calculamos a_{t} em t=1 usando
a_{t}=\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}}{\|\mathbf{v}\|}.
O produto escalar em t=1 é
\mathbf{v}(1)\cdot\mathbf{a}(1)=3\cdot 0 + 1\cdot(-2) = -2.
Logo
a_{t}(1)=\frac{-2}{\sqrt{10}}.
Simplificando a forma racionalizada,
a_{t}(1)=-\frac{2}{\sqrt{10}}=-\frac{\sqrt{10}}{5}.
(O sinal negativo indica que a rapidez está diminuindo em t=1.)

Passo 8

Calculamos a_{n} em t=1. Usamos a fórmula
a_{n}=\frac{|x'y''-y'x''|}{\|\mathbf{v}\|}.
Já calculamos o numerador em Passo 5: |x' y'' - y' x''| = 6. Então
a_{n}(1)=\frac{6}{\sqrt{10}}.
Racionalizando/simplificando,
a_{n}(1)=\frac{6}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{5}.
Também podemos verificar pela relação a_{n}=\|\mathbf{v}\|^{2}\kappa(1): \|\mathbf{v}(1)\|^{2}=10 e \kappa(1)=\tfrac{3}{5\sqrt{10}}, então 10\cdot \tfrac{3}{5\sqrt{10}}=\tfrac{6}{\sqrt{10}}, consistente.

Resposta

(a) y=\dfrac{2}{9}x^{2}-\dfrac{1}{27}x^{3}
(b) \rho(1)=\dfrac{5\sqrt{10}}{3}
(c) a_{n}(1)=\dfrac{3\sqrt{10}}{5} \n a_{t}(1)=-\dfrac{\sqrt{10}}{5}

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