Determine todas as soluções complexas de z^{2}-1=2 i.
Escolha uma opção:
◯ C. \pm\left(\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}-i \sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\right) ◯ a. \(\pm\left(\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}+i \sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\right) ◯ b. \(\pm\left(\sqrt{\frac{1-\sqrt{5}}{2}}-i \sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\right) ◯ d. \(\pm\left(-\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}+i \sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\right) ◯ e. \(\pm\left(\sqrt{\frac{1-\sqrt{5}}{2}}+i \sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as soluções complexas da equação \,z^{2}-1=2i.
Informações fornecidas:
  • A equação é \,z^{2}-1=2i.
  • Queremos todos os números complexos z que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Vamos representar z por suas partes real e imaginária, isto é \,z=x+iy, onde x e y são números reais. Explicar: quando duas expressões complexas são iguais, suas partes reais são iguais e suas partes imaginárias são iguais — portanto podemos igualar componentes reais e imaginárias depois de expandir.

Passo 3

Calculamos (x+iy)^{2} e igualamos a 1+2i:
(x+iy)^{2}=x^{2}-y^{2}+i(2xy).
Igualando-se a 1+2i obtemos o sistema real:
x^{2}-y^{2}=1, \qquad 2xy=2.
Da segunda equação vem
xy=1.
Isto implica x\neq0 e y=\dfrac{1}{x}.

Passo 4

Substituímos y=\dfrac{1}{x} na primeira equação:
x^{2}-\left(\dfrac{1}{x}\right)^{2}=1.
Multiplicando ambos os lados por x^{2} (lembrando x\neq0):
x^{4}-1=x^{2}.
Organizando:
x^{4}-x^{2}-1=0.
Fazemos a substituição t=x^{2} (como x^{2}\ge0), obtendo a quadrática
t^{2}-t-1=0.
Resolvendo:
t=\frac{1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}.
Como t=x^{2}\ge0, descartamos t=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} (que é negativo). Logo
x^{2}=t=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.
Portanto
x=\pm\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}.

Passo 5

Usando xy=1 obtemos y=\dfrac{1}{x}. Assim
y^{2}=\frac{1}{x^{2}}=\frac{1}{t}=\frac{1}{\tfrac{1+\sqrt{5}}{2}}=\frac{2}{1+\sqrt{5}}.
Observe que \dfrac{2}{1+\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} (manipulação algébrica simples). Então
y^{2}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}, \qquad y=\pm\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}.
Como xy=1>0, os sinais de x e y são iguais: se x é positivo, y é positivo; se x é negativo, y é negativo.

Passo 6

Portanto as soluções são
z=\pm\left(\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}+i\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\right).
Verificação rápida (útil na prova): se x^{2}=t satisfaz t^{2}-t-1=0, então
x^{2}-y^{2}=t-\frac{1}{t}=\frac{t^{2}-1}{t}=\frac{t}{t}=1
e 2xy=2, logo (x+iy)^{2}=1+2i de fato.

Resposta

\pm\left(\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}+i \sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\right)

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