Determine todas as soluções complexas de z^{2}-1=2 i.
Escolha uma opção:
◯ C. \pm\left(\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}-i \sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\right)
◯ a. \(\pm\left(\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}+i \sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\right)
◯ b. \(\pm\left(\sqrt{\frac{1-\sqrt{5}}{2}}-i \sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\right)
◯ d. \(\pm\left(-\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}+i \sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\right)
◯ e. \(\pm\left(\sqrt{\frac{1-\sqrt{5}}{2}}+i \sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\right)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todas as soluções complexas da equação \,z^{2}-1=2i.
Informações fornecidas:
A equação é \,z^{2}-1=2i.
Queremos todos os números complexos z que satisfazem essa igualdade.
Passo 2
Vamos representar z por suas partes real e imaginária, isto é \,z=x+iy, onde x e y são números reais. Explicar: quando duas expressões complexas são iguais, suas partes reais são iguais e suas partes imaginárias são iguais — portanto podemos igualar componentes reais e imaginárias depois de expandir.
Passo 3
Calculamos (x+iy)^{2} e igualamos a 1+2i:
(x+iy)^{2}=x^{2}-y^{2}+i(2xy).
Igualando-se a 1+2i obtemos o sistema real:
x^{2}-y^{2}=1, \qquad 2xy=2.
Da segunda equação vem
xy=1.
Isto implica x\neq0 e y=\dfrac{1}{x}.
Passo 4
Substituímos y=\dfrac{1}{x} na primeira equação:
x^{2}-\left(\dfrac{1}{x}\right)^{2}=1.
Multiplicando ambos os lados por x^{2} (lembrando x\neq0):
x^{4}-1=x^{2}.
Organizando:
x^{4}-x^{2}-1=0.
Fazemos a substituição t=x^{2} (como x^{2}\ge0), obtendo a quadrática