Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função racional em
:
Informações dadas:
- A expressão no domínio de
é . - A incógnita da transformada inversa é a variável do tempo
, ou seja, procura-se uma função tal que .
Passo 2
Lembrete das transformadas básicas que vamos usar (explicando o que cada símbolo significa):
-
significa que a transformada de Laplace da função (variável temporal ) é a função (variável complexa ). - Fórmulas úteis:
Aqui
é uma constante real (no nosso caso
). Essas fórmulas dizem, respectivamente, que a função exponencial
tem transformada
e que a função
tem transformada
. Vou usar essas correspondências para reconhecer termos na expressão dada.
Passo 3
Para aplicar as fórmulas acima, faço uma manipulação algébrica no numerador para separar a expressão em termos que tenham as formas
e
. Escrevo
como
e distribuo:
Simplificando o primeiro termo:
Portanto a decomposição final é
Passo 4
Agora aplico a transformada inversa termo a termo, usando as fórmulas do Passo 2. Para cada termo:
- Para
: a forma básica é com , cuja inversa é . Multiplicando por temos
- Para
: a forma básica é com , cuja inversa é . Multiplicando por temos
Somando as duas contribuições, a função no tempo é
Passo 5
Opcional — verificação rápida (idéia): se fizer a transformada de Laplace de
, usando linearidade e as fórmulas do Passo 2, obtém-se exatamente
. Isso confirma que a inversa encontrada está correta.