mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{5 s}{(s-2)^{2}}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função racional em s:
\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{5 s}{(s-2)^{2}}\right\}.
Informações dadas:
  • A expressão no domínio de s é \dfrac{5 s}{(s-2)^{2}}.
  • A incógnita da transformada inversa é a variável do tempo t, ou seja, procura-se uma função f(t) tal que \mathscr{L}\{f(t)\}=\dfrac{5 s}{(s-2)^{2}}.

Passo 2

Lembrete das transformadas básicas que vamos usar (explicando o que cada símbolo significa):
  • \mathscr{L}\{f(t)\}=F(s) significa que a transformada de Laplace da função f(t) (variável temporal t) é a função F(s) (variável complexa s).
  • Fórmulas úteis: \mathscr{L}\{e^{a t}\}=\frac{1}{s-a},
\mathscr{L}\{t e^{a t}\}=\frac{1}{(s-a)^{2}}.
Aqui a é uma constante real (no nosso caso a=2). Essas fórmulas dizem, respectivamente, que a função exponencial e^{a t} tem transformada \dfrac{1}{s-a} e que a função t e^{a t} tem transformada \dfrac{1}{(s-a)^2}. Vou usar essas correspondências para reconhecer termos na expressão dada.

Passo 3

Para aplicar as fórmulas acima, faço uma manipulação algébrica no numerador para separar a expressão em termos que tenham as formas \dfrac{1}{s-2} e \dfrac{1}{(s-2)^2}. Escrevo s como (s-2)+2 e distribuo:
\frac{5s}{(s-2)^2}=\frac{5\bigl((s-2)+2\bigr)}{(s-2)^2} =\frac{5(s-2)}{(s-2)^2}+\frac{10}{(s-2)^2}.
Simplificando o primeiro termo:
\frac{5(s-2)}{(s-2)^2}=\frac{5}{s-2}.
Portanto a decomposição final é
\frac{5s}{(s-2)^2}=\frac{5}{s-2}+\frac{10}{(s-2)^2}.

Passo 4

Agora aplico a transformada inversa termo a termo, usando as fórmulas do Passo 2. Para cada termo:
  • Para \dfrac{5}{s-2}: a forma básica é \dfrac{1}{s-a} com a=2, cuja inversa é e^{2t}. Multiplicando por 5 temos
\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{5}{s-2}\right\}=5 e^{2t}.
  • Para \dfrac{10}{(s-2)^2}: a forma básica é \dfrac{1}{(s-a)^2} com a=2, cuja inversa é t e^{2t}. Multiplicando por 10 temos
\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{10}{(s-2)^2}\right\}=10\,t\,e^{2t}.
Somando as duas contribuições, a função no tempo é
f(t)=5 e^{2t}+10\,t\,e^{2t}.

Passo 5

Opcional — verificação rápida (idéia): se fizer a transformada de Laplace de f(t)=5 e^{2t}+10 t e^{2t}, usando linearidade e as fórmulas do Passo 2, obtém-se exatamente \dfrac{5}{s-2}+\dfrac{10}{(s-2)^2}=\dfrac{5s}{(s-2)^2}. Isso confirma que a inversa encontrada está correta.

Resposta

5 e^{2t}+10\,t\,e^{2t}

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