a) Considere uma precisão
arbitrária e um intervalo
. Deduza uma estimativa para o número mínimo de iterações do método da Bissecção até satisfazer o critério de parada
.
b) Usando o método da bissecção determine o valor aproximado da raiz da cquação
, levando em consideração a tolerância
.
b) Usando o método da bissecção determine o valor aproximado da raiz da cquação
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Para um intervalo inicial
e uma precisão arbitrária , deduzir uma estimativa para o número mínimo de iterações do método da bissecção até que o critério de parada seja satisfeito. - (b) Aplicar o método da bissecção à equação
com tolerância para obter uma aproximação da raiz.
Informações fornecidas pelo enunciado que vamos usar:
- Para a parte (a): existe um intervalo inicial
(com ) e uma tolerância . - Para a parte (b): a função é
, a tolerância é e lembramos que o domínio de exige .
Passo 2
Conceito-chave do método da bissecção (explicação didática curta):
- A cada iteração o método toma o ponto médio do intervalo atual e substitui uma das extremidades pelo ponto médio, de modo que o novo intervalo tem metade do comprimento do anterior. Ou seja, após cada iteração o comprimento do intervalo é dividido por
.
Matematicamente, se o comprimento inicial é
, então após
iterações o comprimento do intervalo (denotado por
) vale
Isto vem diretamente da propriedade de halving (divisão por 2) do método da bissecção.
Passo 3
Usando a expressão do passo anterior, o critério de parada
(isto é,
após as iterações) torna-se
Isolando
temos
Aplicando logaritmo na base
obtemos
Como
deve ser um número inteiro de iterações, o número mínimo de iterações que garante
é o menor inteiro maior que o lado direito, ou seja o teto (ceiling). Assim:
Comentário prático: se
já for potência inteira de
, então basta
; caso contrário, toma-se o teto para garantir a desigualdade estrita.
Passo 4
Agora parte (b). Primeiro precisamos escolher um intervalo inicial
com
(porque
exige
) tal que
e
tenham sinais opostos (isso garante existência de raiz por Bolzano, e é a hipótese do método da bissecção).
Calculemos alguns valores simples:
Tomando
,
Tomando
,
Logo escolhemos o intervalo inicial
ou mais convenientemente
não é correto notacionalmente; usamos
é confuso—corrigindo: escolhemos
com
e
, pois em
a função é negativa e em
é positiva. Assim há pelo menos uma raiz em
.
Passo 5
Antes de iterar, calculemos quantas iterações são necessárias pela fórmula do passo (3). Aqui
e
. Então
Calculando o logaritmo na base
:
Portanto o número mínimo inteiro de iterações é
Ou seja, precisamos de
iterações para garantir que o comprimento do intervalo final seja menor que
.
Passo 6
Vamos executar as iterações do método da bissecção (cada iteração: calcular
, avaliar
e escolher o subintervalo onde há mudança de sinal). Para clareza, em cada passo mostro
,
,
e
.
Iteração 1:
Como
e
, o novo intervalo é
.
Passo 7
Iteração 2:
Como
e
, o novo intervalo é
.
Passo 8
Iteração 3:
Sinal muda entre
(negativo) e
(positivo), então novo intervalo
.
Passo 9
Iteração 4:
Agora o sinal muda entre
(negativo) e
(positivo), então novo intervalo
.
Passo 10
Iteração 5:
Sinal muda entre
(negativo) e
(positivo), novo intervalo
.
Passo 11
Iteração 6:
Sinal muda entre
(negativo) e
(positivo), novo intervalo
.
Passo 12
Iteração 7:
Agora o sinal muda entre
(negativo) e
(positivo). O novo intervalo é
O comprimento do intervalo final é
portanto o critério de parada
já está satisfeito após
iterações, conforme previsto.
Uma estimativa natural para a raiz obtida pelo método da bissecção é o ponto médio do intervalo final:
Arredondando com uma precisão adequada ao critério pedido (tolerância
), podemos escrever
. Lembre-se que o erro máximo está limitado por metade do comprimento do intervalo final, isto é
.
Resposta
(a)
(b)
(aprox.
), obtido após
iterações, intervalo final
.