a) Considere uma precisão \varepsilon arbitrária e um intervalo |\mathrm{a}, \mathrm{b}|. Deduza uma estimativa para o número mínimo de iterações do método da Bissecção até satisfazer o critério de parada b-a<\varepsilon.
b) Usando o método da bissecção determine o valor aproximado da raiz da cquação x^{2}+\ln (x)=0, levando em consideração a tolerância \varepsilon=10^{-2}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Para um intervalo inicial \,|a,b| e uma precisão arbitrária \varepsilon, deduzir uma estimativa para o número mínimo de iterações do método da bissecção até que o critério de parada b-a<\varepsilon seja satisfeito.
  • (b) Aplicar o método da bissecção à equação \,x^{2}+\ln(x)=0 com tolerância \varepsilon=10^{-2} para obter uma aproximação da raiz.
Informações fornecidas pelo enunciado que vamos usar:
  • Para a parte (a): existe um intervalo inicial \,|a,b| (com a<b) e uma tolerância \varepsilon>0.
  • Para a parte (b): a função é \,f(x)=x^{2}+\ln(x), a tolerância é \,\varepsilon=10^{-2\!} e lembramos que o domínio de \ln(x) exige x>0.

Passo 2

Conceito-chave do método da bissecção (explicação didática curta):
  • A cada iteração o método toma o ponto médio do intervalo atual e substitui uma das extremidades pelo ponto médio, de modo que o novo intervalo tem metade do comprimento do anterior. Ou seja, após cada iteração o comprimento do intervalo é dividido por 2.
Matematicamente, se o comprimento inicial é \,b-a, então após n iterações o comprimento do intervalo (denotado por \ell_{n}) vale
\ell_{n}=\frac{b-a}{2^{n}}.
Isto vem diretamente da propriedade de halving (divisão por 2) do método da bissecção.

Passo 3

Usando a expressão do passo anterior, o critério de parada \ell_{n}<\varepsilon (isto é, b-a<\varepsilon após as iterações) torna-se
\frac{b-a}{2^{n}}<\varepsilon.
Isolando 2^{n} temos
2^{n}>\frac{b-a}{\varepsilon}.
Aplicando logaritmo na base 2 obtemos
n>\log_{2}\!\left(\frac{b-a}{\varepsilon}\right).
Como n deve ser um número inteiro de iterações, o número mínimo de iterações que garante \ell_{n}<\varepsilon é o menor inteiro maior que o lado direito, ou seja o teto (ceiling). Assim:
\boxed{\,n_{\min}=\left\lceil \log_{2}\!\left(\dfrac{b-a}{\varepsilon}\right)\right\rceil\,}.
Comentário prático: se \dfrac{b-a}{\varepsilon} já for potência inteira de 2, então basta n=\log_{2}\!\left(\dfrac{b-a}{\varepsilon}\right); caso contrário, toma-se o teto para garantir a desigualdade estrita.

Passo 4

Agora parte (b). Primeiro precisamos escolher um intervalo inicial [a_{0},b_{0}] com a_{0}>0 (porque \ln(x) exige x>0) tal que f(a_{0}) e f(b_{0}) tenham sinais opostos (isso garante existência de raiz por Bolzano, e é a hipótese do método da bissecção).
Calculemos alguns valores simples:
f(x)=x^{2}+\ln(x).
Tomando x=0,1,
f(0,1)=0,1^{2}+\ln(0,1)=0,01+\ln(0,1)=0,01-2,302585\ldots=-2,292585\ldots<0.
Tomando x=1,
f(1)=1^{2}+\ln(1)=1+0=1>0.
Logo escolhemos o intervalo inicial
[a_{0},b_{0}]=[0,1,\;1],
ou mais convenientemente [0,1,\,1] não é correto notacionalmente; usamos [0,1,1] é confuso—corrigindo: escolhemos [a_{0},b_{0}]=[0,1] com a_{0}=0,1 e b_{0}=1, pois em x=0,1 a função é negativa e em x=1 é positiva. Assim há pelo menos uma raiz em [0,1].

Passo 5

Antes de iterar, calculemos quantas iterações são necessárias pela fórmula do passo (3). Aqui \,b-a=1-0,1=0,9 e \,\varepsilon=10^{-2}=0,01. Então
\frac{b-a}{\varepsilon}=\frac{0,9}{0,01}=90.
Calculando o logaritmo na base 2:
\log_{2}(90)=\frac{\ln(90)}{\ln(2)}\approx\frac{4,49980967}{0,69314718}\approx 6,492\ldots
Portanto o número mínimo inteiro de iterações é
n_{\min}=\lceil 6,492\ldots\rceil=7.
Ou seja, precisamos de 7 iterações para garantir que o comprimento do intervalo final seja menor que 0,01.

Passo 6

Vamos executar as iterações do método da bissecção (cada iteração: calcular m=(a+b)/2, avaliar f(m) e escolher o subintervalo onde há mudança de sinal). Para clareza, em cada passo mostro m, m^{2}, \ln(m) e f(m)=m^{2}+\ln(m).
Iteração 1:
a_{0}=0,1,\qquad b_{0}=1,\qquad m_{1}=\frac{0,1+1}{2}=0,55.
m_{1}^{2}=0,55^{2}=0,3025,\qquad \ln(0,55)\approx -0,597837.
f(m_{1})=0,3025-0,597837\approx -0,295337<0.
Como f(m_{1})<0 e f(b_{0})=f(1)>0, o novo intervalo é [a_{1},b_{1}]=[0,55,\;1].

Passo 7

Iteração 2:
m_{2}=\frac{0,55+1}{2}=0,775.
m_{2}^{2}=0,775^{2}=0,600625,\qquad \ln(0,775)\approx -0,254642.
f(m_{2})=0,600625-0,254642\approx 0,345983>0.
Como f(a_{1})<0 e f(m_{2})>0, o novo intervalo é [a_{2},b_{2}]=[0,55,\;0,775].

Passo 8

Iteração 3:
m_{3}=\frac{0,55+0,775}{2}=0,6625.
m_{3}^{2}=0,6625^{2}\approx 0,43890625,\qquad \ln(0,6625)\approx -0,411158.
f(m_{3})\approx 0,43890625-0,411158\approx 0,027748>0.
Sinal muda entre a_{2}=0,55 (negativo) e m_{3} (positivo), então novo intervalo [a_{3},b_{3}]=[0,55,\;0,6625].

Passo 9

Iteração 4:
m_{4}=\frac{0,55+0,6625}{2}=0,60625.
m_{4}^{2}=0,60625^{2}\approx 0,367547,\qquad \ln(0,60625)\approx -0,500775.
f(m_{4})\approx 0,367547-0,500775\approx -0,133228<0.
Agora o sinal muda entre m_{4} (negativo) e b_{3}=0,6625 (positivo), então novo intervalo [a_{4},b_{4}]=[0,60625,\;0,6625].

Passo 10

Iteração 5:
m_{5}=\frac{0,60625+0,6625}{2}=0,634375.
m_{5}^{2}\approx 0,402432,\qquad \ln(0,634375)\approx -0,455115.
f(m_{5})\approx 0,402432-0,455115\approx -0,052683<0.
Sinal muda entre m_{5} (negativo) e b_{4} (positivo), novo intervalo [a_{5},b_{5}]=[0,634375,\;0,6625].

Passo 11

Iteração 6:
m_{6}=\frac{0,634375+0,6625}{2}=0,6484375.
m_{6}^{2}\approx 0,420471,\qquad \ln(0,6484375)\approx -0,433188.
f(m_{6})\approx 0,420471-0,433188\approx -0,012717<0.
Sinal muda entre m_{6} (negativo) e b_{5} (positivo), novo intervalo [a_{6},b_{6}]=[0,6484375,\;0,6625].

Passo 12

Iteração 7:
m_{7}=\frac{0,6484375+0,6625}{2}=0,65546875.
m_{7}^{2}\approx 0,429639,\qquad \ln(0,65546875)\approx -0,422173\\ (\text{aprox.}).
f(m_{7})\approx 0,429639-0,422173\approx 0,007466>0.
Agora o sinal muda entre a_{6}=0,6484375 (negativo) e m_{7} (positivo). O novo intervalo é
[a_{7},b_{7}]=[0,6484375,\;0,65546875].
O comprimento do intervalo final é
b_{7}-a_{7}=0,65546875-0,6484375=0,00703125<0,01,
portanto o critério de parada \,b-a<\varepsilon já está satisfeito após 7 iterações, conforme previsto.
Uma estimativa natural para a raiz obtida pelo método da bissecção é o ponto médio do intervalo final:
x_{\text{aprox}}=\frac{a_{7}+b_{7}}{2}=\frac{0,6484375+0,65546875}{2}=0,651953125.
Arredondando com uma precisão adequada ao critério pedido (tolerância \varepsilon=10^{-2}), podemos escrever x_{\text{aprox}}\approx 0,652. Lembre-se que o erro máximo está limitado por metade do comprimento do intervalo final, isto é \leq 0,003515625.

Resposta

(a) n_{\min}=\left\lceil \log_{2}\!\left(\dfrac{b-a}{\varepsilon}\right)\right\rceil
(b) x\approx 0,651953125 (aprox. 0,652), obtido após 7 iterações, intervalo final [0,6484375,\;0,65546875].

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