mathscr{L}\left\{t^{3} e^{-2 t}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace de t^{3} e^{-2 t}.
Informações dadas:
  • A função a transformar é t^{3} e^{-2 t}.
  • Queremos \mathscr{L}\{t^{3} e^{-2 t}\}.

Passo 2

Definição da transformada de Laplace (para fixar ideias). Para uma função f(t) definida em t\ge 0,
\mathscr{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t)\,dt,
onde s é um número complexo e a integral converge para valores de s com parte real suficientemente grande. Aqui t é a variável de tempo e s é a variável complexa da transformada.

Passo 3

Propriedade do deslocamento-exponencial (shift theorem) — muito útil e fácil de provar: se F(s)=\mathscr{L}\{f(t)\}(s), então, para qualquer constante a,
\mathscr{L}\{e^{a t}f(t)\}(s)=F(s-a).
Prova rápida: pela definição,
\mathscr{L}\{e^{a t}f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} e^{a t} f(t)\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t} f(t)\,dt=F(s-a).
No nosso caso a=-2 porque temos e^{-2t}=e^{(-2)t}. Então, se acharmos \mathscr{L}\{t^{3}\}(s), basta substituir s por s-(-2)=s+2.

Passo 4

Fórmula padrão para potências: para inteiro n\ge 0,
\mathscr{L}\{t^{n}\}(s)=\frac{n!}{s^{n+1}},\qquad \text{para }\operatorname{Re}(s)>0.
Vou derivar isso para n=3 com integração por partes, passo a passo (assim você consegue reproduzir na prova sem memorização mágica).
Calcule F(s)=\mathscr{L}\{t^{3}\}=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} t^{3}\,dt. Use integração por partes: escolha u=t^{3} e dv=e^{-s t}dt. Então du=3t^{2}dt e v=-\dfrac{1}{s}e^{-s t}. Aplicando a fórmula,
\int_{0}^{\infty} e^{-s t}t^{3}\,dt=\Big[-\frac{t^{3}}{s}e^{-s t}\Big]_{0}^{\infty}+\frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-s t}3t^{2}\,dt.
Avaliações nas fronteiras: em t=0 o termo é 0. Para t\to\infty e \operatorname{Re}(s)>0, e^{-s t} vence o polinômio t^{3}, logo o termo na infinidade é 0. Portanto sobra
\mathscr{L}\{t^{3}\}(s)=\frac{3}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-s t}t^{2}\,dt=\frac{3}{s}\mathscr{L}\{t^{2}\}(s).
Repete-se o mesmo raciocínio para \mathscr{L}\{t^{2}\}: por integração por partes obtém-se \mathscr{L}\{t^{2}\}(s)=\dfrac{2}{s}\mathscr{L}\{t\}(s). E para \mathscr{L}\{t\} temos \mathscr{L}\{t\}(s)=\dfrac{1}{s}\mathscr{L}\{1\}(s). Finalmente \mathscr{L}\{1\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt=\dfrac{1}{s} para \operatorname{Re}(s)>0.
Juntando:
\mathscr{L}\{t^{3}\}(s)=\frac{3}{s}\cdot\frac{2}{s}\cdot\frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s}=\frac{3\cdot2\cdot1}{s^{4}}=\frac{6}{s^{4}},
válido para \operatorname{Re}(s)>0. Isso coincide com a fórmula geral n!/s^{n+1}.

Passo 5

Agora aplico a propriedade do deslocamento com a=-2. Como \mathscr{L}\{t^{3}\}(s)=\dfrac{6}{s^{4}}, pela propriedade,
\mathscr{L}\{t^{3}e^{-2t}\}(s)=\mathscr{L}\{e^{(-2)t}t^{3}\}(s)=\mathscr{L}\{t^{3}\}(s-(-2))=\mathscr{L}\{t^{3}\}(s+2).
Substituindo s por s+2,
\mathscr{L}\{t^{3}e^{-2t}\}(s)=\frac{6}{(s+2)^{4}}.
Condição de convergência: a expressão \dfrac{6}{(s+2)^{4}} corresponde à região onde \operatorname{Re}(s+2)>0, ou seja \operatorname{Re}(s)>-2.

Resposta

\mathscr{L}\{t^{3}e^{-2t}\}(s)=\dfrac{6}{(s+2)^{4}},\quad \operatorname{Re}(s)>-2

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