Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace de
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função a transformar é
. - Queremos
.
Passo 2
Definição da transformada de Laplace (para fixar ideias). Para uma função
definida em
,
onde
é um número complexo e a integral converge para valores de
com parte real suficientemente grande. Aqui
é a variável de tempo e
é a variável complexa da transformada.
Passo 3
Propriedade do deslocamento-exponencial (shift theorem) — muito útil e fácil de provar: se
, então, para qualquer constante
,
Prova rápida: pela definição,
No nosso caso
porque temos
. Então, se acharmos
, basta substituir
por
.
Passo 4
Fórmula padrão para potências: para inteiro
,
Vou derivar isso para
com integração por partes, passo a passo (assim você consegue reproduzir na prova sem memorização mágica).
Calcule
. Use integração por partes: escolha
e
. Então
e
. Aplicando a fórmula,
Avaliações nas fronteiras: em
o termo é
. Para
e
,
vence o polinômio
, logo o termo na infinidade é
. Portanto sobra
Repete-se o mesmo raciocínio para
: por integração por partes obtém-se
. E para
temos
. Finalmente
para
.
Juntando:
válido para
. Isso coincide com a fórmula geral
.
Passo 5
Agora aplico a propriedade do deslocamento com
. Como
, pela propriedade,
Substituindo
por
,
Condição de convergência: a expressão
corresponde à região onde
, ou seja
.