Seja f: M_{3}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R} a função definida por f(A)=\operatorname{det}(A). Nas asserções abaixo, classifique em verdadeiro ou falso, justificando cada uma delas. f é injetiva.
Passo 1
O enunciado dá a função f: M_{3}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R} definida por f(A)=\det(A). A pergunta é: a asserção " f é injetiva" é verdadeira ou falsa? Listei as informações dadas:
Domínio: o conjunto M_{3}(\mathbb{R}) de todas as matrizes 3\times3 reais.
Contradomínio: o conjunto \mathbb{R}.
Regra: a cada matriz A associa-se seu determinante \det(A).
O que se pede: classificar a asserção " f é injetiva" e justificar a escolha.
Passo 2
Definição de injetividade (explicada devagar): a função f é injetiva se, sempre que duas matrizes A e B têm a mesma imagem, então elas são iguais. Em símbolos:
f\text{ é injetiva} \quad\Longleftrightarrow\quad \forall A,B\in M_{3}(\mathbb{R}),\\ \big(f(A)=f(B)\Rightarrow A=B\big).
Para mostrar que f não é injetiva basta apresentar um contraexemplo: duas matrizes diferentes A\neq B tais que f(A)=f(B).
Passo 3
Estratégia prática (sem complicar): escolher matrizes simples cuja determinante seja fácil de calcular. Uma escolha natural é comparar a matriz identidade com uma matriz obtida por uma operação elemental que não muda o determinante (por exemplo acrescentar uma coluna múltipla de outra coluna? atenção: adicionar múltiplo de uma coluna NÃO preserva o determinante; mas adicionar múltiplo de uma linha ou coluna altera o determinante? melhor usar uma matriz triangular com os mesmos elementos diagonais para garantir mesmo produto diagonal). Vou usar a matriz identidade I_3 e uma matriz triangular superior que tem os mesmos elementos diagonais, porque para matrizes triangulares o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.
Estas matrizes são claramente diferentes porque, por exemplo, o elemento (1,2) de A é 0 enquanto o de B é 1. Agora calculemos os determinantes.]
Passo 5
Cálculo dos determinantes (mostrando passo a passo):
Para A (matriz identidade) já sabemos que
\det(A)=1.
Para B (matriz triangular superior), pode-se usar a regra geral de 3\times3 ou a propriedade de matrizes triangulares; vou calcular pelo desenvolvimento em regra de Sarrus / fórmula:
escrevendo os elementos de B como b_{ij}, tem-se
Conclusão do raciocínio: encontramos A\neq B com f(A)=\det(A)=1 e f(B)=\det(B)=1. Isso demonstra que existe pelo menos um par de matrizes distintas com a mesma imagem pelo determinante; logo f NÃO é injetiva. Além do exemplo acima, é fácil ver intuitivamente que f é longe de ser injetiva: por exemplo há infinitely muitas matrizes com determinante 0 (toda matriz com linhas linearmente dependentes), então várias matrizes diferentes mapeiam para o mesmo número 0.