Questão 9: Quais dos subconjuntos do R^2, com as operações usuais, são subespaços vetoriais?
a) (x, y) in R^2 mid x >= 0.
b) (x, y) in R^2 mid x >= 0, y >= 0.
c) (x, y) in R^2 mid x=0.

Passo 1

O enunciado pede verificar quais dos subconjuntos de R^2, com as operações usuais, são subespaços vetoriais. O conteúdo é “subespaço vetorial” e usamos o critério: um conjunto Wsubset V é subespaço se, e somente se, satisfaz três condições simultaneamente:
1. 0in W.
2. para todo u,vin W, u+vin W.
3. para todo escalar alpha e todo vin W, alpha vin W.

Passo 2

Verificando o item (a)
Wa=(x,y)mid x>=0.
  1. 0=(0,0) está em Wa porque 0>=0.
  2. Se (x1,y1),(x2,y2)in Wa, então x1,x2>=0 e x1+x2>=0, logo (x1+x2,y1+y2)in Wa.
  3. Porém, para um escalar negativo alpha<0 e um vetor (1,0)in Wa, tem-se alpha(1,0)=(-1,0)notin Wa.
    Logo, Wa não é fechado sob multiplicação escalar e não é subespaço.

Passo 3

Verificando o item (b)
Wb=(x,y)mid x>=0,;y>=0.
  1. 0=(0,0) está em Wb.
  2. Se (x1,y1),(x2,y2)in Wb, então x1+x2>=0 e y1+y2>=0, mantendo-se em Wb.
  3. Mas para alpha<0 e (1,1)in Wb obtemos alpha(1,1)=(-1,-1)notin Wb.
    Portanto, Wb também não é subespaço.

Passo 4

Verificando o item (c)
Wc=(x,y)mid x=0 (o eixo y).
  1. 0=(0,0) está em Wc.
  2. Se (0,y1),(0,y2)in Wc, então (0,y1)+(0,y2)=(0,y1+y2) ainda tem x=0.
  3. Para qualquer escalar alpha e (0,y)in Wc, alpha(0,y)=(0,alpha y) também satisfaz x=0.
    Logo, Wc satisfaz todas as condições e é subespaço vetorial.

Resposta

a) não
b) não
c) sim

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