Questão 9: Quais dos subconjuntos do
, com as operações usuais, são subespaços vetoriais?
a)
.
b)
.
c)
.
a)
b)
c)
Passo 1
O enunciado pede verificar quais dos subconjuntos de
, com as operações usuais, são subespaços vetoriais. O conteúdo é “subespaço vetorial” e usamos o critério: um conjunto
é subespaço se, e somente se, satisfaz três condições simultaneamente:
1. .
2. para todo ,
.
3. para todo escalar e todo
,
.
1.
2. para todo
3. para todo escalar
Passo 2
Verificando o item (a)
.
-
está em porque . - Se
, então e , logo . - Porém, para um escalar negativo
e um vetor , tem-se .
Logo,não é fechado sob multiplicação escalar e não é subespaço.
Passo 3
Verificando o item (b)
.
-
está em . - Se
, então e , mantendo-se em . - Mas para
e obtemos .
Portanto,também não é subespaço.
Passo 4
Verificando o item (c)
(o eixo
).
-
está em . - Se
, então ainda tem . - Para qualquer escalar
e , também satisfaz .
Logo,satisfaz todas as condições e é subespaço vetorial.
Resposta
a) não
b) não
c) sim
b) não
c) sim