Uma matriz
é chamada nilpotente se
, para algum inteiro positivo
. Verifique que a matriz
é nilpotente.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a matriz
é nilpotente, ou seja, existe
k>0 tal que
A^k=0 . Vamos identificar o padrão de potências de
A .
Passo 2
Observe que
só pode ser não nulo se existir
ell tal que
ell=i+1 e
j=ell+1 , isto é,
j=i+2 . Logo
Passo 3
Por indução, suponha que
Então
só é não nulo se
ell=i+k e
j=ell+1=i+(k+1) , e nesse caso vale 1. Logo
Isso fecha a indução.
Passo 4
Para
k=n e quaisquer índices
i,jin1,dots,n temos
i+n>n , então não existe coluna
j=i+n . Daí
Como encontramos
k=n tal que
A^k=0 , concluímos que
A é nilpotente.
Resposta
A é nilpotente de índice de nilpotência igual a
n , pois
A^n=0 .