Uma matriz A é chamada nilpotente se A^k=0, para algum inteiro positivo k. Verifique que a matriz
A=[ccccc 0 & 1 & 0 & cdots & 0 0 & 0 & 1 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & ddots & vdots 0 & 0 & 0 & cdots & 1 0 & 0 & 0 & cdots & 0 ]n times n
é nilpotente.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a matriz
A=l(aijr)ntimes n, aij= 1,&j=i+1, 0,&caso contrário, á
é nilpotente, ou seja, existe k>0 tal que A^k=0. Vamos identificar o padrão de potências de A.

Passo 2

Observe que
(A^2)ij=sumell=1^n aiell,aell j
só pode ser não nulo se existir ell tal que ell=i+1 e j=ell+1, isto é, j=i+2. Logo
(A^2)ij= 1,&j=i+2, 0,&caso contrário á

Passo 3

Por indução, suponha que
(A^k)ij= 1,&j=i+k, 0,&caso contrário á
Então
(A^k+1)ij=sumell=1^n (A^k)iell,aell j
só é não nulo se ell=i+k e j=ell+1=i+(k+1), e nesse caso vale 1. Logo
(A^k+1)ij= 1,&j=i+(k+1), 0,&caso contrário á
Isso fecha a indução.

Passo 4

Para k=n e quaisquer índices i,jin1,dots,n temos i+n>n, então não existe coluna j=i+n. Daí
A^n=0
Como encontramos k=n tal que A^k=0, concluímos que A é nilpotente.

Resposta

A é nilpotente de índice de nilpotência igual a n, pois A^n=0.

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