Se A é obtida subtraindo a coluna 2 da coluna 1 em B, então \operatorname{det}(A)=-\operatorname{det}(B).

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação: a matriz A é obtida a partir da matriz B substituindo a coluna 1 de B por (coluna 1 menos coluna 2), enquanto as demais colunas permanecem iguais. Em notação de colunas, se as colunas de B são
B = \bigl[C_1,\; C_2,\; C_3,\ldots,C_n\bigr],
então
A = \bigl[C_1 - C_2,\; C_2,\; C_3,\ldots,C_n\bigr].
A afirmação que devemos verificar é: "então \det(A) = -\det(B)". Ou seja, precisamos decidir se essa igualdade é verdadeira ou falsa dadas as operações descritas.

Passo 2

Lembrete importante (fórmula/conceito) — linearidade da determinante em uma coluna:
  • A determinante é uma função multilinear em relação às colunas: se fixarmos todas as colunas exceto uma, a determinante é uma função linear daquela coluna.
  • Em linguagem simples: se numa certa coluna substituirmos u por u+v, então a determinante se divide em soma das determinantes com u e com v nessa coluna. Em notação,
\det\bigl[\,u+v,\; C_2,\ldots,C_n\bigr] = \det\bigl[\,u,\; C_2,\ldots,C_n\bigr] + \det\bigl[\,v,\; C_2,\ldots,C_n\bigr].
Aqui u e v são vetores-coluna e as outras colunas C_2,\ldots,C_n estão fixas.
Vou explicar por que isso é intuitivo: determinant mede volume orientado; somar vetores numa coluna corresponde à soma das contribuições de cada vetor para esse volume, mantendo as outras direções fixas — por isso aparece uma soma.

Passo 3

Aplicando a linearidade à nossa situação: como a primeira coluna de A é C_1 - C_2, temos
\det(A) = \det\bigl[\,C_1 - C_2,\; C_2,\; C_3,\ldots,C_n\bigr].
Pela linearidade em primeira coluna,
\det(A) = \det\bigl[\,C_1,\; C_2,\; C_3,\ldots,C_n\bigr] - \det\bigl[\,C_2,\; C_2,\; C_3,\ldots,C_n\bigr].
A primeira parcela é exatamente \det(B), porque essa é a matriz B. Assim
\det(A)=\det(B)-\det\bigl[\,C_2,\; C_2,\; C_3,\ldots,C_n\bigr].

Passo 4

Agora precisamos avaliar a segunda parcela \det\bigl[\,C_2,\; C_2,\; C_3,\ldots,C_n\bigr]. Essa é a determinante de uma matriz que tem duas colunas iguais (a coluna 1 e a coluna 2 são ambas C_2). Propriedade crucial:
  • Se uma matriz tem duas colunas iguais, sua determinante é zero.
Justificativa rápida dessa propriedade: trocar duas colunas quaisquer muda o sinal da determinante (propriedade de antissimetria). Se as colunas são iguais, trocar essas duas colunas não altera a matriz em nada, logo a determinante deveria ser igual a si mesma com sinal trocado; isto é,
\det(M) = -\det(M),
o que implica \det(M)=0.
Aplicando isso, a segunda parcela é zero:
\det\bigl[\,C_2,\; C_2,\; C_3,\ldots,C_n\bigr]=0.
Portanto, da equação do Passo 3 segue
\det(A)=\det(B)-0=\det(B).

Passo 5

Conclusão e exemplo numérico para fixar a intuição: a operação “subtrair a coluna 2 da coluna 1” não muda a determinante; ela deixa \det inalterado. Um exemplo simples em 2\times2:
B=\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt] 0 & 1\end{pmatrix}\quad\Rightarrow\quad \det(B)=1.
Subtraindo a coluna 2 da coluna 1:
A=\begin{pmatrix}1-0 & 0\\[2pt]0-1 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]-1 & 1\end{pmatrix},
temos \det(A)=1 também. Isso confirma concretamente que \det(A)=\det(B), e não -\det(B).]

Resposta

Falso. \det(A)=\det(B).

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