Se
é obtida subtraindo a coluna 2 da coluna 1 em
, então
.
Passo 1
O enunciado dá a seguinte informação: a matriz
é obtida a partir da matriz
substituindo a coluna 1 de
por (coluna 1 menos coluna 2), enquanto as demais colunas permanecem iguais. Em notação de colunas, se as colunas de
são
então
A afirmação que devemos verificar é: "então
". Ou seja, precisamos decidir se essa igualdade é verdadeira ou falsa dadas as operações descritas.
Passo 2
Lembrete importante (fórmula/conceito) — linearidade da determinante em uma coluna:
- A determinante é uma função multilinear em relação às colunas: se fixarmos todas as colunas exceto uma, a determinante é uma função linear daquela coluna.
- Em linguagem simples: se numa certa coluna substituirmos
por , então a determinante se divide em soma das determinantes com e com nessa coluna. Em notação,
Aqui
e
são vetores-coluna e as outras colunas
estão fixas.
Vou explicar por que isso é intuitivo: determinant mede volume orientado; somar vetores numa coluna corresponde à soma das contribuições de cada vetor para esse volume, mantendo as outras direções fixas — por isso aparece uma soma.
Passo 3
Aplicando a linearidade à nossa situação: como a primeira coluna de
é
, temos
Pela linearidade em primeira coluna,
A primeira parcela é exatamente
, porque essa é a matriz
. Assim
Passo 4
Agora precisamos avaliar a segunda parcela
. Essa é a determinante de uma matriz que tem duas colunas iguais (a coluna 1 e a coluna 2 são ambas
). Propriedade crucial:
- Se uma matriz tem duas colunas iguais, sua determinante é zero.
Justificativa rápida dessa propriedade: trocar duas colunas quaisquer muda o sinal da determinante (propriedade de antissimetria). Se as colunas são iguais, trocar essas duas colunas não altera a matriz em nada, logo a determinante deveria ser igual a si mesma com sinal trocado; isto é,
o que implica
.
Aplicando isso, a segunda parcela é zero:
Portanto, da equação do Passo 3 segue
Passo 5
Conclusão e exemplo numérico para fixar a intuição: a operação “subtrair a coluna 2 da coluna 1” não muda a determinante; ela deixa
inalterado. Um exemplo simples em
:
Subtraindo a coluna 2 da coluna 1:
temos
também. Isso confirma concretamente que
, e não
.]
Resposta
Falso.
.