Uma matriz é dita idempotente se A^{2}=A. Mostre que cada uma das seguintes matrizes é idempotente:
\left[\begin{array}{lll}\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado dá a matriz A e pede para mostrar que ela é idempotente, isto é, que satisfaz
A^{2}=A.
A matriz fornecida é
A= \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.
Informações relevantes que temos: as três colunas de A são idênticas; cada coluna é o vetor \begin{pmatrix}\tfrac{1}{4}\\[4pt]\tfrac{1}{4}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 2

Uma maneira eficiente de trabalhar é observar que A é um produto externo (outer product) de um vetor coluna por um vetor linha. Defina os vetores coluna
u=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{4}\\[4pt]\tfrac{1}{4}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}, \qquad v=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
O produto externo u v^{T} é a matriz 3\times3 cujas colunas são todas iguais a u. Logo
A = u v^{T}.]

Passo 3

Vamos usar a propriedade da multiplicação de matrizes e de escalares: se A=u v^{T} então
A^{2}=(u v^{T})(u v^{T})=u\bigl(v^{T}u\bigr)v^{T}.
Aqui expliquei o passo: v^{T}u é um escalar (produto interno de v por u), portanto pode ser movido para dentro como multiplicador escalar entre os vetores coluna/linha. Também vale conferir dimensões: u é 3\times1, v^{T} é 1\times3, então v^{T}u é 1\times1 (um escalar) e o produto final tem dimensão 3\times3, compatível com A.

Passo 4

Calcule explicitamente o escalar v^{T}u:
v^{T}u = 1\cdot\frac{1}{4} + 1\cdot\frac{1}{4} + 1\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2} =1.

Passo 5

Substituindo em A^{2}=u\bigl(v^{T}u\bigr)v^{T} obtemos
A^{2}=u\cdot 1 \cdot v^{T}=u v^{T}=A.
Portanto A^{2}=A, isto é, A é idempotente.

Passo 6

Para ficar mais concreto (checar por multiplicação direta), verifica-se que ao multiplicar A pela sua primeira coluna u obtemos novamente u. Escrevendo u e calculando entrada a entrada:
A u = \begin{pmatrix} \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2} \\[6pt] \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2} \\[6pt] \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} \\[4pt] \frac{1}{4} \\[4pt] \frac{1}{2} \end{pmatrix}=u.
Como as três colunas de A são iguais a u, isso mostra que cada coluna de A^{2} coincide com a coluna correspondente de A, confirmando A^{2}=A.]

Resposta

A^{2}=A

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