Uma matriz é dita idempotente se A^{2}=A. Mostre que cada uma das seguintes matrizes é idempotente: \left[\begin{array}{lll}\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right].
Passo 1
O enunciado dá a matriz A e pede para mostrar que ela é idempotente, isto é, que satisfaz
Informações relevantes que temos: as três colunas de A são idênticas; cada coluna é o vetor \begin{pmatrix}\tfrac{1}{4}\\[4pt]\tfrac{1}{4}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]
Passo 2
Uma maneira eficiente de trabalhar é observar que A é um produto externo (outer product) de um vetor coluna por um vetor linha. Defina os vetores coluna
Aqui expliquei o passo: v^{T}u é um escalar (produto interno de v por u), portanto pode ser movido para dentro como multiplicador escalar entre os vetores coluna/linha. Também vale conferir dimensões: u é 3\times1, v^{T} é 1\times3, então v^{T}u é 1\times1 (um escalar) e o produto final tem dimensão 3\times3, compatível com A.
Substituindo em A^{2}=u\bigl(v^{T}u\bigr)v^{T} obtemos
A^{2}=u\cdot 1 \cdot v^{T}=u v^{T}=A.
Portanto A^{2}=A, isto é, A é idempotente.
Passo 6
Para ficar mais concreto (checar por multiplicação direta), verifica-se que ao multiplicar A pela sua primeira coluna u obtemos novamente u. Escrevendo u e calculando entrada a entrada:
A u = \begin{pmatrix} \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2} \\[6pt] \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2} \\[6pt] \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} \\[4pt] \frac{1}{4} \\[4pt] \frac{1}{2} \end{pmatrix}=u.
Como as três colunas de A são iguais a u, isso mostra que cada coluna de A^{2} coincide com a coluna correspondente de A, confirmando A^{2}=A.]