Uma matriz é dita idempotente se A^{2}=A. Mostre que cada uma das seguintes matrizes é idempotente:
\left[\begin{array}{ll}\frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\\ \frac{2}{3} & \frac{1}{3}\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\left[\begin{array}{cc}\dfrac{2}{3} & \dfrac{1}{3} \\[6pt]\dfrac{2}{3} & \dfrac{1}{3}\end{array}\right]
e pede para mostrar que ela é idempotente, isto é, verificar que
A^{2}=A.]

Passo 2

Recordando a definição: uma matriz A é idempotente quando \,A^{2}=A. Para verificar isso diretamente, calculamos o produto A\cdot A (produto de matrizes) e comparamos entrada por entrada com A.

Passo 3

Regra de multiplicação para matrizes 2\times2: se
A=\left[\begin{array}{cc}a & b\\[4pt] c & d\end{array}\right],
então
A^{2}=A\cdot A=\left[\begin{array}{cc} a^{2}+b c & a b+b d\\[6pt] c a+d c & c b+d^{2} \end{array}\right].
Aqui cada entrada é o produto escalar da linha correspondente da primeira matriz com a coluna correspondente da segunda.]

Passo 4

Identificamos as entradas de A:
a=\dfrac{2}{3},\quad b=\dfrac{1}{3},\quad c=\dfrac{2}{3},\quad d=\dfrac{1}{3}.
Calculamos agora cada entrada de A^{2}.
Cálculo da entrada (1,1):
a^{2}+b c=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}+\left(\dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{4}{9}+\dfrac{2}{9}=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}.

Passo 5

Cálculo da entrada (1,2):
a b+b d=\left(\dfrac{2}{3}\right)\left(\dfrac{1}{3}\right)+\left(\dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{2}{9}+\dfrac{1}{9}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}.
Cálculo da entrada (2,1):
c a+d c=\left(\dfrac{2}{3}\right)\left(\dfrac{2}{3}\right)+\left(\dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{4}{9}+\dfrac{2}{9}=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}.
Cálculo da entrada (2,2):
c b+d^{2}=\left(\dfrac{2}{3}\right)\left(\dfrac{1}{3}\right)+\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}=\dfrac{2}{9}+\dfrac{1}{9}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}.

Passo 6

Juntando as entradas calculadas, obtemos
A^{2}=\left[\begin{array}{cc}\dfrac{2}{3} & \dfrac{1}{3} \\[6pt]\dfrac{2}{3} & \dfrac{1}{3}\end{array}\right].
Como esta matriz é exatamente A, concluímos que A^{2}=A, ou seja, A é idempotente.]

Resposta

A^{2}=A.

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