Se A é uma matriz inversível, mostre que adj(A) é inversível e
[\operatorname{adj}(A)]^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det}(A)} A=\operatorname{adj}\left(A^{-1}\right)\

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz quadrada invertível (logo \det(A)\neq0). Precisamos mostrar duas coisas:
  1. Que \operatorname{adj}(A) também é invertível e que \displaystyle \bigl[\operatorname{adj}(A)\bigr]^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\,A.
  2. Que esse mesmo operador vale para a adjunta de A^{-1}, isto é, \displaystyle \operatorname{adj}(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}\,A.

Passo 2

Usamos a identidade fundamental da matriz adjunta:
A\,\operatorname{adj}(A)=\det(A)\,I.
Como \det(A)\neq0, podemos multiplicar essa igualdade à esquerda por A^{-1}. Obtém-se
\operatorname{adj}(A) =\det(A)\,A^{-1}.
Isto já mostra que \operatorname{adj}(A) é produto de duas matrizes invertíveis \det(A)\neq0 e A^{-1}, logo é invertível. Basta então inverter o produto para achar
\bigl[\operatorname{adj}(A)\bigr]^{-1} =\bigl(\det(A)\,A^{-1}\bigr)^{-1} =\frac{1}{\det(A)}\,A.

Passo 3

Para relacionar com \operatorname{adj}(A^{-1}), aplicamos a mesma fórmula à matriz A^{-1}:
\operatorname{adj}(A^{-1}) =\det(A^{-1})\,(A^{-1})^{-1}.
Mas sabemos que \det(A^{-1})=\tfrac1{\det(A)} e (A^{-1})^{-1}=A. Logo
\operatorname{adj}(A^{-1}) =\frac{1}{\det(A)}\,A,
que coincide exatamente com \bigl[\operatorname{adj}(A)\bigr]^{-1}.

Resposta

\bigl[\operatorname{adj}(A)\bigr]^{-1} =\frac{1}{\det(A)}\,A \quad\text{e}\quad \operatorname{adj}(A^{-1}) =\frac{1}{\det(A)}\,A.

Exercícios relacionados