Se
é uma matriz inversível, mostre que adj(A) é inversível e
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz quadrada invertível (logo
). Precisamos mostrar duas coisas:
- Que
também é invertível e que . - Que esse mesmo operador vale para a adjunta de
, isto é, .
Passo 2
Usamos a identidade fundamental da matriz adjunta:
Como
, podemos multiplicar essa igualdade à esquerda por
. Obtém-se
Isto já mostra que
é produto de duas matrizes invertíveis
e
, logo é invertível. Basta então inverter o produto para achar
Passo 3
Para relacionar com
, aplicamos a mesma fórmula à matriz
:
Mas sabemos que
e
. Logo
que coincide exatamente com
.