Seja A é uma matriz quadrada de ordem
.
Mostre que
.
Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para uma matriz quadrada
de ordem
, vale
O plano é usar a identidade clássica
e as propriedades de determinante de matrizes invertíveis e singulares.
Passo 2
Suponha primeiro que
seja invertível, ou seja,
. Da identidade
multiplicamos à esquerda por
e obtemos
Passo 3
Agora aplicamos determinante em ambos os lados da expressão
. Lembrando que, para escalar
e matriz
de ordem
, vale
, temos
Passo 4
Como para matriz invertível
, segue
Passo 5
Agora considere o caso
. Então o lado direito
é zero. Por outro lado, da identidade
segue que cada coluna de
está no núcleo de
. Como
não é invertível, seu núcleo é não trivial e isso impede
de ser invertível, logo
.