Seja A é uma matriz quadrada de ordem n.
Mostre que \operatorname{det}(\operatorname{adj}(A))=[\operatorname{det}(A)]^{n-1}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para uma matriz quadrada A de ordem n, vale
\det\bigl(\adj(A)\bigr)=\bigl[\det(A)\bigr]^{\,n-1}.
O plano é usar a identidade clássica
A\,\adj(A)=\det(A)\,I
e as propriedades de determinante de matrizes invertíveis e singulares.

Passo 2

Suponha primeiro que A seja invertível, ou seja, \det(A)\neq0. Da identidade
A\,\adj(A)=\det(A)\,I
multiplicamos à esquerda por A^{-1} e obtemos
\adj(A)=\det(A)\,A^{-1}.

Passo 3

Agora aplicamos determinante em ambos os lados da expressão \adj(A)=\det(A)\,A^{-1}. Lembrando que, para escalar \lambda e matriz M de ordem n, vale \det(\lambda M)=\lambda^n\det(M), temos
\det\bigl(\adj(A)\bigr) =\det\bigl(\det(A)\,A^{-1}\bigr) =\bigl[\det(A)\bigr]^{n}\,\det\bigl(A^{-1}\bigr).

Passo 4

Como para matriz invertível \det(A^{-1})=1/\det(A), segue
\det\bigl(\adj(A)\bigr) =\bigl[\det(A)\bigr]^{n}\,\frac1{\det(A)} =\bigl[\det(A)\bigr]^{\,n-1}.

Passo 5

Agora considere o caso \det(A)=0. Então o lado direito [\det(A)]^{n-1} é zero. Por outro lado, da identidade A\,\adj(A)=\det(A)\,I=0 segue que cada coluna de \adj(A) está no núcleo de A. Como A não é invertível, seu núcleo é não trivial e isso impede \adj(A) de ser invertível, logo \det(\adj(A))=0.

Resposta

\det\bigl(\adj(A)\bigr)=\bigl[\det(A)\bigr]^{\,n-1}.

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