1. (2.0 pts) Identifique a cónica cuja equação é 4 x^{2}+2 x y+4 y^{2}+\sqrt{2} x+5 \sqrt{2} y+\frac{2}{15}=0, em relação ao sistema ortogonal \{O, \vec{i}, \vec{j}\}.

Passo 1

O enunciado dá a equação geral de segunda ordem
4x^{2}+2xy+4y^{2}+\sqrt{2}\,x+5\sqrt{2}\,y+\frac{2}{15}=0
e pede que identifiquemos que tipo de cônica ela representa no sistema ortogonal \{O,\vec i,\vec j\}. O conteúdo aqui é classificação de cônicas a partir dos coeficientes.

Passo 2

Identificamos os coeficientes padrão
A=4,\quad B=2,\quad C=4,\quad D=\sqrt{2},\quad E=5\sqrt{2},\quad F=\frac{2}{15}.
O discriminante é
\Delta = B^{2}-4AC = 2^{2}-4\cdot4\cdot4 = 4-64 = -60 <0.
Como \Delta<0, a cônica é do tipo elipse (não é círculo porque B\neq0).

Passo 3

Para encontrar o centro (x_{0},y_{0}) resolvemos
\frac{\partial}{\partial x}(4x^{2}+2xy+4y^{2}+\sqrt{2}x+5\sqrt{2}y)=0, \qquad \frac{\partial}{\partial y}(\dots)=0.
Isto dá o sistema
8x+2y+\sqrt{2}=0, \quad 2x+8y+5\sqrt{2}=0.
Da primeira: y=-\frac{\sqrt{2}}{2}-4x. Substituindo na segunda obtém-se
x=\frac{\sqrt{2}}{30}, \quad y=-\frac{19\sqrt{2}}{30}.

Passo 4

Para eliminar o termo misto xy nota-se que A=C, logo
\tan(2\theta)=\frac{B}{A-C}=\frac{2}{0}\implies 2\theta=\frac{\pi}{2}\implies \theta=\frac{\pi}{4}.
Assim, ao girar os eixos em 45^\circ obtemos a forma principal.

Passo 5

Calcula-se o valor da expressão no centro para achar a constante canônica:
f(x_{0},y_{0})=-3.
Em coordenadas principais (u,v) centradas em (x_{0},y_{0}) e giradas de \pi/4, o polinômio quadrático vira
5u^{2}+3v^{2}-3=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{u^{2}}{3/5}+\frac{v^{2}}{1}=1,
que é a equação de uma elipse.

Resposta

É uma elipse.

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