Se A e uma matriz n \times n, demonstre que
A+A^{t} é simétrica.

Passo 1

O enunciado dá que A é uma matriz n\times n. O que se pede é demonstrar que A + A^{t} é simétrica.
Informações relevantes que temos no enunciado:
  • A é uma matriz quadrada de ordem n.
  • A^{t} denota a transposta de A.
  • O objetivo final é mostrar que a matriz A + A^{t} é simétrica (ou seja, igual à sua transposta).

Passo 2

Vamos lembrar claramente o que significa “matriz simétrica”: uma matriz M é simétrica se, e somente se,
M = M^{t}.
Em termos de entradas, se M = [m_{ij}], isso equivale a dizer que
m_{ij} = m_{ji}\quad\text{para todo }i,j.
Essa é a definição que usaremos como alvo: mostrar que (A + A^{t})^{t} = A + A^{t} (ou mostrar igualdade termo a termo das entradas).

Passo 3

Agora, a definição de transposta e como interpretá‑la em termos de entradas. Se A = [a_{ij}] é uma matriz n\times n, então A^{t} = [a_{ji}]. Ou seja, a transposição troca índices: a entrada da linha i e coluna j de A^{t} é
(A^{t})_{ij} = a_{ji}.
Esse é o conceito básico que usaremos para manipular transpostas.

Passo 4

Precisamos também de duas propriedades fundamentais da transposição (são fáceis e importantes na prova):
  1. A transposta da soma é a soma das transpostas:
(X+Y)^{t} = X^{t} + Y^{t},
para quaisquer matrizes X e Y com mesmas dimensões. Prova rápida por entradas: (X+Y)_{ij} = x_{ij}+y_{ij}, então
(X+Y)^{t}_{ij} = (X+Y)_{ji} = x_{ji}+y_{ji} = X^{t}_{ij} + Y^{t}_{ij}.
  1. A transposição aplicada duas vezes retorna a matriz original:
(X^{t})^{t} = X.
Prova rápida por entradas: ((X^{t})^{t})_{ij} = (X^{t})_{ji} = x_{ij}.
Vou usar essas duas propriedades diretamente na prova.

Passo 5

Aplicando as propriedades da transposição à matriz A + A^{t}, calculamos sua transposta:
(A + A^{t})^{t} = A^{t} + (A^{t})^{t}.
Pela propriedade (2) acima, (A^{t})^{t} = A. Substituindo,
(A + A^{t})^{t} = A^{t} + A.
Como a soma de matrizes é comutativa (ou seja, A^{t}+A = A + A^{t}), obtemos
(A + A^{t})^{t} = A + A^{t}.
Isso mostra exatamente que A + A^{t} é igual à sua transposta, ou seja, é simétrica.

Passo 6

Para fixar bem a ideia, faço também uma verificação termo a termo (mais elementar): seja B = A + A^{t} e escreva B = [b_{ij}]. Então
b_{ij} = a_{ij} + (A^{t})_{ij} = a_{ij} + a_{ji}.
Analogamente,
b_{ji} = a_{ji} + a_{ij}.
Como a_{ij}+a_{ji} = a_{ji}+a_{ij}, temos b_{ij} = b_{ji} para todo i,j. Isso é exatamente a condição de simetria em termos de entradas, confirmando a conclusão anterior.

Passo 7

Um exemplo numérico rápido para tornar tudo mais concreto. Seja
A = \begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] 3 & 4\end{pmatrix}.
Então
A^{t} = \begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix}, \qquad A + A^{t} = \begin{pmatrix}2 & 5\\[4pt] 5 & 8\end{pmatrix},
e vemos que a matriz resultante é simétrica porque a entrada (1,2) é igual à (2,1) (ambas 5). Isso ilustra concretamente a propriedade que provamos de forma geral.]

Passo 8

Resumo e motivação para a prova na prova: a maneira mais direta e rápida é usar as propriedades (X+Y)^{t}=X^{t}+Y^{t} e (X^{t})^{t}=X e escrever
(A + A^{t})^{t} = A^{t} + (A^{t})^{t} = A^{t} + A = A + A^{t},
o que resolve o problema em uma linha. Se preferir, pode sempre justificar essas propriedades de forma elementar usando índices, como feito no Passo 6. Força aí — essa é uma dessas provas curtas que valem bastante em prova!

Resposta

\;A + A^{t}\\ \text{é simétrica, pois}\\ (A + A^{t})^{t} = A + A^{t}.éé

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