Se
e uma matriz
, demonstre que
é simétrica.
Passo 1
O enunciado dá que
é uma matriz
. O que se pede é demonstrar que
é simétrica.
Informações relevantes que temos no enunciado:
Informações relevantes que temos no enunciado:
-
é uma matriz quadrada de ordem . -
denota a transposta de . - O objetivo final é mostrar que a matriz
é simétrica (ou seja, igual à sua transposta).
Passo 2
Vamos lembrar claramente o que significa “matriz simétrica”: uma matriz
é simétrica se, e somente se,
Em termos de entradas, se
, isso equivale a dizer que
Essa é a definição que usaremos como alvo: mostrar que
(ou mostrar igualdade termo a termo das entradas).
Passo 3
Agora, a definição de transposta e como interpretá‑la em termos de entradas. Se
é uma matriz
, então
. Ou seja, a transposição troca índices: a entrada da linha
e coluna
de
é
Esse é o conceito básico que usaremos para manipular transpostas.
Passo 4
Precisamos também de duas propriedades fundamentais da transposição (são fáceis e importantes na prova):
- A transposta da soma é a soma das transpostas:
para quaisquer matrizes
e
com mesmas dimensões. Prova rápida por entradas:
, então
- A transposição aplicada duas vezes retorna a matriz original:
Prova rápida por entradas:
.
Vou usar essas duas propriedades diretamente na prova.
Passo 5
Aplicando as propriedades da transposição à matriz
, calculamos sua transposta:
Pela propriedade (2) acima,
. Substituindo,
Como a soma de matrizes é comutativa (ou seja,
), obtemos
Isso mostra exatamente que
é igual à sua transposta, ou seja, é simétrica.
Passo 6
Para fixar bem a ideia, faço também uma verificação termo a termo (mais elementar): seja
e escreva
. Então
Analogamente,
Como
, temos
para todo
. Isso é exatamente a condição de simetria em termos de entradas, confirmando a conclusão anterior.
Passo 7
Um exemplo numérico rápido para tornar tudo mais concreto. Seja
Então
e vemos que a matriz resultante é simétrica porque a entrada
é igual à
(ambas
). Isso ilustra concretamente a propriedade que provamos de forma geral.]
Passo 8
Resumo e motivação para a prova na prova: a maneira mais direta e rápida é usar as propriedades
e
e escrever
o que resolve o problema em uma linha. Se preferir, pode sempre justificar essas propriedades de forma elementar usando índices, como feito no Passo 6. Força aí — essa é uma dessas provas curtas que valem bastante em prova!