Sendo \mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\\\ 0 & 2\end{array}\right) e \mathrm{B}=\left(\begin{array}{ll}3 & 0 \\\\ 0 & 3\end{array}\right), determinar as matrizes X e Y , tais que: \mathrm{X}+\mathrm{Y}=\mathrm{A}+\mathrm{B} e 2 \mathrm{X}-\mathrm{Y}=\mathrm{A}-\mathrm{B}.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar as matrizes X e Y que satisfazem simultaneamente as duas equações matriciais abaixo:
X+Y=A+B
2X-Y=A-B
Informações dadas (retirei do enunciado):
A=\begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}3 & 0 \\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix}.
Não inicio nenhuma resolução aqui — apenas enumerei o que é pedido e os dados fornecidos.]

Passo 2

Lembrete prático (rápido e sem complicar): soma, subtração e multiplicação por escalar de matrizes operam entrada a entrada. Ou seja, se X=(x_{ij}) e Y=(y_{ij}) então
(X+Y)_{ij}=x_{ij}+y_{ij},\qquad (cX)_{ij}=c\cdot x_{ij}.
Isso significa que podemos manipular as equações matriciais exatamente como faríamos com equações escalares (somar, multiplicar por escalar, eliminar incógnitas), porque todas as operações são lineares e compatíveis entre si. Vou usar essa propriedade para combinar as duas equações e eliminar uma incógnita.

Passo 3

Calculo primeiro A+B e A-B explicitamente, usando as matrizes fornecidas:
A+B=\begin{pmatrix}2&0\\[4pt]0&2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3&0\\[4pt]0&3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5&0\\[4pt]0&5\end{pmatrix},
A-B=\begin{pmatrix}2&0\\[4pt]0&2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3&0\\[4pt]0&3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1&0\\[4pt]0&-1\end{pmatrix}.
(Usei diretamente os valores de A e B mostrados no enunciado.)]

Passo 4

Somando as duas equações dadas para eliminar Y: tome
(X+Y)+(2X-Y).
No lado esquerdo as Y cancelam e temos 3X. No lado direito somamos A+B com A-B. Escrevendo isso:
3X=(A+B)+(A-B).
Agora calculo o lado direito explicitamente:
(A+B)+(A-B)=2A,
logo
3X=2A.
Isolando X (multiplicando ambos os lados por \tfrac{1}{3}):
X=\tfrac{2}{3}A.

Passo 5

Agora substituo A na expressão de X para obter a matriz numérica:
X=\tfrac{2}{3}\begin{pmatrix}2&0\\[4pt]0&2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac{4}{3}&0\\[4pt]0&\tfrac{4}{3}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Com X em mãos, uso a primeira equação X+Y=A+B para encontrar Y. Isolando Y:
Y=(A+B)-X.
Substituo os valores já calculados:
Y=\begin{pmatrix}5&0\\[4pt]0&5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\tfrac{4}{3}&0\\[4pt]0&\tfrac{4}{3}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5-\tfrac{4}{3}&0\\[4pt]0&5-\tfrac{4}{3}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac{11}{3}&0\\[4pt]0&\tfrac{11}{3}\end{pmatrix}.]

Passo 7

Verificação rápida (para ficar tranquilo): compute X+Y e 2X-Y com as matrizes achadas.
X+Y=\begin{pmatrix}\tfrac{4}{3}+\tfrac{11}{3}&0\\[4pt]0&\tfrac{4}{3}+\tfrac{11}{3}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5&0\\[4pt]0&5\end{pmatrix}=A+B,
2X-Y=\begin{pmatrix}2\cdot\tfrac{4}{3}-\tfrac{11}{3}&0\\[4pt]0&2\cdot\tfrac{4}{3}-\tfrac{11}{3}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1&0\\[4pt]0&-1\end{pmatrix}=A-B.
Está tudo consistente.]

Resposta

X=\begin{pmatrix}\tfrac{4}{3} & 0 \\[4pt] 0 & \tfrac{4}{3}\end{pmatrix}
Y=\begin{pmatrix}\tfrac{11}{3} & 0 \\[4pt] 0 & \tfrac{11}{3}\end{pmatrix}]

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