Sejam as matrizes A_{m \times n}, X_{n \times 1} e B_{m \times 1}. Verifique se num sistema A X=B, o conjunto S dos vetores X que são solução do sistema, formam um subespaço vetorial, para
a) B=0, sistema homogêneo
b) B \neq 0

Passo 1

O enunciado dá as matrizes A de dimensão m\times n, X de dimensão n\times 1 e B de dimensão m\times 1, e pede para verificar se o conjunto S dos vetores X que satisfazem o sistema
A X = B
forma um subespaço vetorial nos dois casos:
a) quando B=0 (sistema homogêneo) e
b) quando B\neq 0 (sistema não-homogêneo).
As informações relevantes que temos são:
  • A é uma matriz m\times n.
  • X é um vetor coluna n\times 1.
  • B é um vetor coluna m\times 1.
  • S=\{\,X\in\mathbb{R}^n \mid A X = B\,\} é o conjunto de soluções do sistema.
  • Precisamos decidir se S é subespaço vetorial nos dois casos.

Passo 2

Definição prática de subespaço vetorial (critério que vou usar): um subconjunto W\subseteq\mathbb{R}^n é subespaço vetorial se e somente se satisfaz três propriedades (que equivalem ao usual):
  1. W não é vazio (equivalente: contém o vetor nulo 0).
  2. W é fechado sob adição: se u\in W e v\in W então u+v\in W.
  3. W é fechado sob multiplicação escalar: se u\in W e c\in\mathbb{R} então c u\in W.
Vou usar esse critério diretamente para testar S nos dois casos. Antes disso, lembro uma propriedade fundamental da multiplicação de matrizes que será usada: a multiplicação por uma matriz A é uma transformação linear, ou seja, para quaisquer vetores u,v e escalar c vale
A(u+v)=Au+Av
e
A(cu)=c(Au).
Isso vem da definição de produto matricial e da distributividade e associatividade habituais — vou usar essas igualdades explicitamente nas provas.

Passo 3

Caso (a): B=0. Aqui o conjunto de soluções é
S=\{\,X\in\mathbb{R}^n \mid A X = 0\,\}.
Esse conjunto é conhecido como núcleo (ou núcleo linear) de A, denotado \ker(A). Vou checar as três propriedades do critério.
  1. Não vazio / contém o vetor nulo: verifique que X=0 satisfaz A0=0 (porque A vezes o vetor nulo dá vetor nulo). Logo 0\in S, então S não é vazio.
  2. Fechamento por adição: tome X_1,X_2\in S. Então A X_1 = 0 e A X_2 = 0. Usando linearidade da multiplicação matricial,
A(X_1+X_2)=AX_1+AX_2 = 0+0 = 0.
Logo X_1+X_2\in S.
  1. Fechamento por multiplicação escalar: tome X\in S e c\in\mathbb{R}. Então AX=0 e pela linearidade
A(cX)=c(AX)=c\cdot 0=0.
Logo cX\in S.
Como as três propriedades são satisfeitas, S é um subespaço vetorial quando B=0. Observação útil para a prova: estruturalmente S=\ker(A), então conhecemos propriedades padrão do núcleo (é um subespaço, sua dimensão é n-\operatorname{rank}(A), etc.), mas para a questão era suficiente mostrar fechamento e presença do zero.

Passo 4

Exemplo didático curto (para fixar a ideia): suponha
A=\begin{pmatrix}1 & 2\\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\qquad B=0.
Então S=\{(x,y)^\top\mid x+2y=0\}=\{( -2y,y)^\top\mid y\in\mathbb{R}\}, que é claramente uma reta que passa pela origem — ou seja, um subespaço unidimensional. Isso ilustra geometricamente por que conjuntos de soluções homogêneas são subespaços: sempre passam pela origem.

Passo 5

Caso (b): B\neq 0. Primeiro observo duas possibilidades que cobrem todos os casos:
  • O sistema pode ser inconsistente (não ter solução), então S=\varnothing.
  • O sistema pode ser consistente (existir ao menos uma solução), então S contém pelo menos um vetor X_0 tal que AX_0=B.
Vou analisar ambas as possibilidades em relação à definição de subespaço.

Passo 6

Se o sistema for inconsistente, então S=\varnothing. Um subespaço vetorial não pode ser vazio, porque deve conter o vetor nulo. Portanto, se não há soluções, S não é subespaço.
Se o sistema for consistente, seja X_0 uma solução, isto é,
A X_0 = B.
Verifico rapidamente que o vetor nulo 0 não pertence a S: A0=0\neq B (porque B\neq 0), então 0\notin S. Como conter o vetor nulo é requisito para ser subespaço, já concluímos que, mesmo no caso consistente, S não pode ser subespaço.
Posso também mostrar falha de fechamento sob adição de maneira elementar: se X_1 e X_2 são soluções, então AX_1=B e AX_2=B. Logo
A(X_1+X_2)=AX_1+AX_2 = B+B = 2B.
Como 2B\neq B quando B\neq 0, X_1+X_2 não é solução em geral. Assim S não é fechado por adição. Similarmente, para escalar c\in\mathbb{R} com c\neq 1,
A(cX_1)=c(AX_1)=cB\neq B
em geral, então não há fechamento por multiplicação escalar.

Passo 7

Comentário útil (intuição/propriedade): quando o sistema é consistente e B\neq 0, o conjunto de soluções tem a forma
S = X_0 + \ker(A) = \{\,X_0 + v \mid v\in\ker(A)\,\},
ou seja, é um deslocamento (uma translação) do subespaço \ker(A). Geometricamente, isso é uma “reta/ plano/hiperplano” que não passa pela origem — um subespaço affine, não um subespaço linear. Por isso a propriedade de conter a origem falha exatamente quando B\neq0.

Resposta

a) Sim. S é subespaço vetorial quando B=0 (nesse caso S=\ker(A)).\n
b) Não. Quando B\neq 0, S não é subespaço vetorial (ou é vazio, ou, se existir solução, não contém o vetor zero e não é fechado por soma/escalar).

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