Verifique se o conjunto de matrizes
dadas por
são subespaços vetoriais do espaço vetorial das matrizes
.
são subespaços vetoriais do espaço vetorial das matrizes
Passo 1
O enunciado dá o conjunto de matrizes
da forma
ou seja, todas as matrizes
cujo elemento da posição
é fixado igual a
. A pergunta é: esse conjunto é um subespaço vetorial do espaço vetorial das matrizes
?]
Passo 2
Vamos lembrar, passo a passo, o que significa ser subespaço vetorial (vai ser rápido e importante para a prova). Um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço se e somente se as três condições abaixo forem satisfeitas:
-
é não vazio (ou equivalentemente contém o vetor zero de ).\n -
é fechado sob adição: para quaisquer temos .\n -
é fechado sob multiplicação escalar: para qualquer (escalar) e qualquer temos .\n
Explicação da condição do vetor zero: seé fechado sob multiplicação escalar, então pegando qualquer e o escalar obtemos . Assim, conter o vetor zero é uma consequência necessária de ser subespaço — por isso checar o zero é frequentemente a forma mais rápida de refutar que algo é subespaço.
Passo 3
Apliquei o teste do vetor zero. O vetor zero no espaço das matrizes
é a matriz nula
Observação: no conjunto dado todas as matrizes têm o elemento
igual a
. Mas a matriz nula tem o elemento
igual a
. Logo
não pertence ao conjunto. Como um subespaço necessariamente deve conter
, concluímos imediatamente que esse conjunto não pode ser um subespaço vetorial.]
Passo 4
Para reforçar a razão (útil na prova), mostro outra forma simples de ver a falha: fechamento por adição. Tome duas matrizes quaisquer do conjunto, com parâmetros
e
:
A soma é
O elemento
da soma é
, que não é igual a
. Logo
não pertence ao conjunto. Portanto o conjunto não é fechado sob adição — outra falha que impede ser subespaço.]
Passo 5
Mostro também a falha no fechamento por multiplicação escalar (mais uma evidência didática). Tome uma matriz qualquer do conjunto
e um escalar
. Então
O elemento
passa a ser
. Para que
ficasse no conjunto precisaríamos de
. Mas a condição de subespaço exige que
esteja no conjunto para todo
(por exemplo
deveria funcionar). Como para
o elemento
vira
, vemos que
em geral. Portanto o conjunto não é fechado sob multiplicação escalar.]
Passo 6
Conclusão clara e direta: o conjunto das matrizes
não é subespaço vetorial do espaço das matrizes
. A razão mais simples é que ele não contém a matriz zero (ou, equivalentemente, falha em ser fechado sob adição e sob multiplicação escalar).]
Passo 7
Um comentário final útil para a prova (encorajador): se em vez de fixarmos o elemento
igual a
tivéssemos fixado igual a
, ou seja o conjunto
esse sim seria um subespaço — porque a matriz nula está ali e as operações de soma e multiplicação escalar preservam o zero naquele lugar. Então a culpa da não-subespaço é o valor constante não nulo no elemento
.]
Resposta
Não; o conjunto não é subespaço vetorial (por exemplo,
, pois o elemento
da matriz nula é
enquanto no conjunto vale
).