Verifique se o conjunto de matrizes M_{2 \times 2} dadas por
\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & 1\end{array}\right]
são subespaços vetoriais do espaço vetorial das matrizes 2 \times 2.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto de matrizes 2\times2 da forma
\begin{pmatrix} a & b \\[4pt] c & 1 \end{pmatrix},
ou seja, todas as matrizes 2\times2 cujo elemento da posição (2,2) é fixado igual a 1. A pergunta é: esse conjunto é um subespaço vetorial do espaço vetorial das matrizes 2\times2?]

Passo 2

Vamos lembrar, passo a passo, o que significa ser subespaço vetorial (vai ser rápido e importante para a prova). Um subconjunto S de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se as três condições abaixo forem satisfeitas:
  1. S é não vazio (ou equivalentemente contém o vetor zero de V).\n
  2. S é fechado sob adição: para quaisquer u,v\in S temos u+v\in S.\n
  3. S é fechado sob multiplicação escalar: para qualquer \lambda (escalar) e qualquer u\in S temos \lambda u\in S.\n
    Explicação da condição do vetor zero: se S é fechado sob multiplicação escalar, então pegando qualquer u\in S e o escalar \lambda=0 obtemos 0\cdot u=\mathbf{0}\in S. Assim, conter o vetor zero é uma consequência necessária de ser subespaço — por isso checar o zero é frequentemente a forma mais rápida de refutar que algo é subespaço.

Passo 3

Apliquei o teste do vetor zero. O vetor zero no espaço das matrizes 2\times2 é a matriz nula
\mathbf{0}=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Observação: no conjunto dado todas as matrizes têm o elemento (2,2) igual a 1. Mas a matriz nula tem o elemento (2,2) igual a 0. Logo \mathbf{0} não pertence ao conjunto. Como um subespaço necessariamente deve conter \mathbf{0}, concluímos imediatamente que esse conjunto não pode ser um subespaço vetorial.]

Passo 4

Para reforçar a razão (útil na prova), mostro outra forma simples de ver a falha: fechamento por adição. Tome duas matrizes quaisquer do conjunto, com parâmetros (a_1,b_1,c_1) e (a_2,b_2,c_2):
A=\begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\[4pt] c_1 & 1 \end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\[4pt] c_2 & 1 \end{pmatrix}.
A soma é
A+B=\begin{pmatrix} a_1+a_2 & b_1+b_2 \\[4pt] c_1+c_2 & 1+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1+a_2 & b_1+b_2 \\[4pt] c_1+c_2 & 2 \end{pmatrix}.
O elemento (2,2) da soma é 2, que não é igual a 1. Logo A+B não pertence ao conjunto. Portanto o conjunto não é fechado sob adição — outra falha que impede ser subespaço.]

Passo 5

Mostro também a falha no fechamento por multiplicação escalar (mais uma evidência didática). Tome uma matriz qualquer do conjunto
A=\begin{pmatrix} a & b \\[4pt] c & 1 \end{pmatrix}
e um escalar \lambda. Então
\lambda A=\begin{pmatrix} \lambda a & \lambda b \\[4pt] \lambda c & \lambda\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda a & \lambda b \\[4pt] \lambda c & \lambda \end{pmatrix}.
O elemento (2,2) passa a ser \lambda. Para que \lambda A ficasse no conjunto precisaríamos de \lambda=1. Mas a condição de subespaço exige que \lambda A esteja no conjunto para todo \lambda (por exemplo \lambda=0 deveria funcionar). Como para \lambda=0 o elemento (2,2) vira 0, vemos que \lambda A\notin S em geral. Portanto o conjunto não é fechado sob multiplicação escalar.]

Passo 6

Conclusão clara e direta: o conjunto das matrizes \begin{pmatrix} a & b \\[4pt] c & 1 \end{pmatrix} não é subespaço vetorial do espaço das matrizes 2\times2. A razão mais simples é que ele não contém a matriz zero (ou, equivalentemente, falha em ser fechado sob adição e sob multiplicação escalar).]

Passo 7

Um comentário final útil para a prova (encorajador): se em vez de fixarmos o elemento (2,2) igual a 1 tivéssemos fixado igual a 0, ou seja o conjunto
\left\{\begin{pmatrix} a & b \\[4pt] c & 0 \end{pmatrix}\right\},
esse sim seria um subespaço — porque a matriz nula está ali e as operações de soma e multiplicação escalar preservam o zero naquele lugar. Então a culpa da não-subespaço é o valor constante não nulo no elemento (2,2).]

Resposta

Não; o conjunto não é subespaço vetorial (por exemplo, \mathbf{0}\notin S, pois o elemento (2,2) da matriz nula é 0 enquanto no conjunto vale 1).

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