Seja T: R^3 R^3 a transformação linear definida por
T(x, y, z)=(x+2 y+3 z,-x+2 y-z, 3 x+2 y+z). Pode-se afirmar, sobre T, que
Escolha uma opção:
a. tem um único autovalor real.
b. (1,0,1) é autovetor.
c. não tem autovalores reais.
d. tem dois autovalores reais.
e. é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear
;TcolonR^3toR^3
por
T(x,y,z) = (,x + 2y + 3z,,-x + 2y - z,;3x + 2y + z,)
Queremos determinar quantos autovalores reais T tem, se é diagonalizável sobre R e se (1,0,1) é autovetor. Para isso vamos obter a matriz de T, calcular o polinômio característico, achar suas raízes e testar o vetor dado.

Passo 2

Em relação à base canônica e1,e2,e3, a matriz de T é
A = 1 & 2 & 3 [6pt] -1 & 2 & -1 [6pt] 3 & 2 & 1 ]

Passo 3

O polinômio característico é
det(A - lambda I) = det 1-lambda & 2 & 3 [3pt] -1 & 2-lambda & -1 [3pt] 3 & 2 & 1-lambda
Fazendo o cálculo do determinante chega-se a
-lambda^3 + 4lambda^2 + 0lambda - 24 = 0,
ou seja
lambda^3 - 4lambda^2 + 24 = 0 ]

Passo 4

Para fatorar lambda^3 - 4lambda^2 + 24, testamos raízes inteiras e verificamos que lambda = -2 anula o polinômio. Assim
lambda^3 - 4lambda^2 + 24 = (lambda + 2)l(lambda^2 - 6lambda + 12r)
As raízes da equação quadrática lambda^2 - 6lambda +12=0 são complexas (discriminante De<a = 36 - 48 = -12).

Passo 5

Concluímos que T tem exatamente um autovalor real, que é
lambda1 = -2,
e dois autovalores não reais conjugados.

Passo 6

Para checar se (1,0,1) é autovetor, calculamos
A101 = 1+0+3-1+0-13+0+1 = 4-24
Como (4,-2,4) não é múltiplo escalar de (1,0,1), esse vetor não é autovetor de T.

Passo 7

Sobre diagonalizabilidade em R: temos apenas um autovalor real simples, logo só um autovetor real associado. Não há como obter base de R^3 formada por autovetores reais, então T não é diagonalizável sobre R.

Resposta

a. tem um único autovalor real.

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