Seja a transformação linear definida por . Pode-se afirmar, sobre , que
Escolha uma opção:
a. tem um único autovalor real.
b. é autovetor.
c. não tem autovalores reais.
d. tem dois autovalores reais.
e. é diagonalizável.
Passo 1
O enunciado define uma transformação linear
por
Queremos determinar quantos autovalores reais tem, se é diagonalizável sobre e se é autovetor. Para isso vamos obter a matriz de , calcular o polinômio característico, achar suas raízes e testar o vetor dado.
As raízes da equação quadrática lambda^2 - 6lambda +12=0 são complexas (discriminante De<a = 36 - 48 = -12).
Passo 5
Concluímos que T tem exatamente um autovalor real, que é
lambda1 = -2,
e dois autovalores não reais conjugados.
Passo 6
Para checar se (1,0,1) é autovetor, calculamos
A101 = 1+0+3-1+0-13+0+1 = 4-24
Como (4,-2,4) não é múltiplo escalar de (1,0,1), esse vetor não é autovetor de T.
Passo 7
Sobre diagonalizabilidade em R: temos apenas um autovalor real simples, logo só um autovetor real associado. Não há como obter base de R^3 formada por autovetores reais, então T não é diagonalizável sobre R.