Uma matriz real quadrada P é dita ortogonal se P^{T}=P^{-1}, ou seja, se sua transposta é igual a sua inversa.
Considere a matriz P=\left(\begin{array}{ccc}-1 / 3 & -2 / 3 & -2 / 3 \\\\ -2 / 3 & a & -1 / 3 \\\\ -2 / 3 & b & 2 / 3\end{array}\right). Determine os valores a e b para que P seja ortogonal.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz quadrada real P e pede para determinar os valores de a e b de modo que P seja ortogonal. A matriz dada é
P=\begin{pmatrix} -1/3 & -2/3 & -2/3\\[4pt] -2/3 & a & -1/3\\[4pt] -2/3 & b & 2/3 \end{pmatrix}.
O que se pede: encontrar a e b tais que P^{T}=P^{-1} (isto é, P ortogonal).
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • As entradas conhecidas de P são os elementos escritos explicitamente; a e b são incógnitas.
  • A condição de ortogonalidade pode ser usada para obter equações entre os elementos da matriz (ver passos seguintes).]

Passo 2

Relembrando a definição e uma forma prática de usar: P é ortogonal se e somente se
P^{T}P=I,
onde I é a matriz identidade. Isso significa que as colunas de P formam um conjunto ortonormal no \mathbb{R}^3: ou seja,
  • produto interno (ponto) entre colunas distintas é 0 (colunas ortogonais),
  • norma de cada coluna é 1 (colunas unitárias).
Explicando o que é produto interno e norma: para vetores coluna u=(u_1,u_2,u_3)^T e v=(v_1,v_2,v_3)^T,
u\cdot v = u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3,
e a norma ao quadrado é
\|u\|^2 = u\cdot u = u_1^2+u_2^2+u_3^2.
Vou aplicar essas condições às colunas de P.

Passo 3

Identifiquemos as colunas de P. Lendo por colunas:
c_1=\begin{pmatrix}-1/3\\[2pt]-2/3\\[2pt]-2/3\end{pmatrix},\qquad c_2=\begin{pmatrix}-2/3\\[2pt]a\\[2pt]b\end{pmatrix},\qquad c_3=\begin{pmatrix}-2/3\\[2pt]-1/3\\[2pt]2/3\end{pmatrix}.
As condições de ortonormalidade que vamos usar são:
c_i\cdot c_j=0\quad\text{para }i\neq j, \qquad \|c_i\|^2=1\quad\text{para }i=1,2,3.]

Passo 4

Calculemos primeiro o produto escalar c_1\cdot c_2. Usando as componentes:
c_1\cdot c_2 = (-1/3)(-2/3) + (-2/3)a + (-2/3)b.
Simplificando:
c_1\cdot c_2 = \tfrac{2}{9} - \tfrac{2}{3}a - \tfrac{2}{3}b.
A condição c_1\cdot c_2=0 dá a equação
\tfrac{2}{9} - \tfrac{2}{3}a - \tfrac{2}{3}b = 0.
Multiplicando ambos os lados por 9 para eliminar denominadores:
2 - 6a - 6b = 0,
ou seja
a + b = \tfrac{1}{3}.

Passo 5

Agora calculemos c_1\cdot c_3. Usando as componentes:
c_1\cdot c_3 = (-1/3)(-2/3) + (-2/3)(-1/3) + (-2/3)(2/3).
Simplificando cada termo:
c_1\cdot c_3 = \tfrac{2}{9} + \tfrac{2}{9} - \tfrac{4}{9} = 0.
Portanto c_1 e c_3 já são ortogonais independentemente de a e b. Nenhuma equação adicional daqui.

Passo 6

Calculemos c_2\cdot c_3. Usando as componentes:
c_2\cdot c_3 = (-2/3)(-2/3) + a(-1/3) + b(2/3).
Simplificando:
c_2\cdot c_3 = \tfrac{4}{9} - \tfrac{a}{3} + \tfrac{2b}{3}.
A condição c_2\cdot c_3=0 leva a
\tfrac{4}{9} - \tfrac{a}{3} + \tfrac{2b}{3} = 0.
Multiplicando por 9:
4 - 3a + 6b = 0,
ou
3a - 6b = 4.

Passo 7

Já temos duas equações lineares obtidas das ortogonalidades mútiplas:
\begin{cases} a + b = \tfrac{1}{3},\\[4pt] 3a - 6b = 4. \end{cases}
Resolvendo esse sistema: da primeira equação b=\tfrac{1}{3}-a. Substituindo na segunda:
3a - 6\Big(\tfrac{1}{3}-a\Big)=4.
Simplificando:
3a - 2 + 6a = 4 \quad\Rightarrow\quad 9a = 6 \quad\Rightarrow\quad a = \tfrac{2}{3}.
Então
b = \tfrac{1}{3} - \tfrac{2}{3} = -\tfrac{1}{3}.]

Passo 8

Falta verificar a condição de norma unitária para c_2. Já verificamos (nos passos 5 e 3) que \|c_1\|^2=1 e \|c_3\|^2=1 (pode-se checar explicitamente):
\|c_1\|^2 = \tfrac{1}{9}+\tfrac{4}{9}+\tfrac{4}{9} = 1, \qquad \|c_3\|^2 = \tfrac{4}{9}+\tfrac{1}{9}+\tfrac{4}{9} = 1.
Agora calculemos \|c_2\|^2 com os valores encontrados a=\tfrac{2}{3}, b=-\tfrac{1}{3}:
\|c_2\|^2 = (-2/3)^2 + a^2 + b^2 = \tfrac{4}{9} + \Big(\tfrac{2}{3}\Big)^2 + \Big(-\tfrac{1}{3}\Big)^2.
Simplificando:
\|c_2\|^2 = \tfrac{4}{9} + \tfrac{4}{9} + \tfrac{1}{9} = \tfrac{9}{9} = 1.
Portanto c_2 também tem norma 1. Todas as condições de ortonormalidade são satisfeitas.

Passo 9

Conclusão: os valores
a=\tfrac{2}{3},\qquad b=-\tfrac{1}{3}
fazem com que as colunas de P sejam ortonormais, logo P^{T}P=I e P é ortogonal.

Resposta

a=\tfrac{2}{3}
b=-\tfrac{1}{3}

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