Uma matriz real quadrada P é dita ortogonal se P^{T}=P^{-1}, ou seja, se sua transposta é igual a sua inversa.
Considere a matriz P=\left(\begin{array}{ccc}-1 / 3 & -2 / 3 & -2 / 3 \\\\ -2 / 3 & a & -1 / 3 \\\\ -2 / 3 & b & 2 / 3\end{array}\right). Determine os valores a e b para que P seja ortogonal.
Passo 1
O enunciado dá uma matriz quadrada real P e pede para determinar os valores de a e b de modo que P seja ortogonal. A matriz dada é
P=\begin{pmatrix} -1/3 & -2/3 & -2/3\\[4pt] -2/3 & a & -1/3\\[4pt] -2/3 & b & 2/3 \end{pmatrix}.
O que se pede: encontrar a e b tais que P^{T}=P^{-1} (isto é, P ortogonal).
Informações importantes extraídas do enunciado:
As entradas conhecidas de P são os elementos escritos explicitamente; a e b são incógnitas.
A condição de ortogonalidade pode ser usada para obter equações entre os elementos da matriz (ver passos seguintes).]
Passo 2
Relembrando a definição e uma forma prática de usar: P é ortogonal se e somente se
P^{T}P=I,
onde I é a matriz identidade. Isso significa que as colunas de P formam um conjunto ortonormal no \mathbb{R}^3: ou seja,
produto interno (ponto) entre colunas distintas é 0 (colunas ortogonais),
norma de cada coluna é 1 (colunas unitárias).
Explicando o que é produto interno e norma: para vetores coluna u=(u_1,u_2,u_3)^T e v=(v_1,v_2,v_3)^T,
u\cdot v = u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3,
e a norma ao quadrado é
\|u\|^2 = u\cdot u = u_1^2+u_2^2+u_3^2.
Vou aplicar essas condições às colunas de P.
Passo 3
Identifiquemos as colunas de P. Lendo por colunas:
Falta verificar a condição de norma unitária para c_2. Já verificamos (nos passos 5 e 3) que \|c_1\|^2=1 e \|c_3\|^2=1 (pode-se checar explicitamente):