Determine um operador de P_{3}(\mathbb{R}) cujo núcleo tenha dimensão 1 .

Passo 1

O espaço P_{3}(\mathbb{R}) é o espaço de dimensão 4 das funções polinomiais de grau <=3. Precisamos dar um operador linear
T\colon P_{3}(\mathbb{R}) \to P_{3}(\mathbb{R})
cujo núcleo \ker T tenha dimensão 1. Pelo Teorema do Núcleo e Imagem (rank–nullity), como \dim P_{3}=4 e queremos \dim\ker T=1, teremos \dim\operatorname{Im}T=3.

Passo 2

Uma escolha natural é tomar o operador derivada
D\colon P_{3}(\mathbb{R}) \to P_{2}(\mathbb{R}),\quad D\bigl(p(x)\bigr)=p'(x).
Note que podemos vê-lo também como D\colon P_{3}(\mathbb{R})\to P_{3}(\mathbb{R}) se completarmos o espaço imagem até grau 3 (por exemplo, incluindo coeficiente zero no monômio de grau 3).

Passo 3

Verificamos que D é linear e que
\ker D = \{\,p\in P_{3}(\mathbb{R}) \mid p'(x)=0\\ \forall x\}.
Mas p'(x)=0 para todo x só acontece se p(x) for constante. Logo
\ker D = \{\,p(x)=c\mid c\in\mathbb{R}\},
que é um espaço de dimensão 1.

Resposta

Uma resposta válida é
D\colon P_{3}(\mathbb{R}) \to P_{3}(\mathbb{R}),\quad D\bigl(p(x)\bigr)=p'(x),
cujo núcleo é o espaço dos polinomiais constantes, de dimensão 1.

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