Seja T o operador linear dado pela matriz \left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\\\ 2 & 0 & 1 \\\\ 1 & -2 & 2\end{array}\right]
a) Encontre a expressão de T(x, y, z)
b) Determine \operatorname{Im}(T) e uma base para esse subespaço.
c) Determine N u c(T) e uma base para esse subespaço.
d) T é injetora? T é sobrejetora? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá o operador linear T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 cuja matriz em relação à base canônica é
Pede-se (a) a fórmula de T(x,y,z), (b) \Im(T) e uma base, (c) \Ker(T) e uma base, e (d) verificar injetividade e sobrejetividade. Para isso vamos usar multiplicação de matrizes, definição de coluna-espaço (imagem), resolução de sistemas lineares homogêneos (núcleo) e o Teorema da Dimensão \dim\Im+\dim\Ker=\dim\mathbb{R}^3.
Passo 2
Para obter a expressão de T(x,y,z) multiplicamos A pelo vetor coluna (x,y,z). Isso dá:
T(x,y,z) = A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1\cdot x + 2\cdot y + (-1)\cdot z\\\\ 2\cdot x + 0\cdot y + 1\cdot z\\\\ 1\cdot x + (-2)\cdot y + 2\cdot z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x + 2y - z\\\\ 2x + z\\\ x - 2y + 2z \end{pmatrix}.
Para \Ker(T)\) resolvemos \(A(x,y,z)^T=0\), i.e. o sistema
\[\begin{cases} x + 2y - z = 0,\\\\ 2x + z = 0,\\\ x - 2y + 2z = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem (z = -2x]. Substituindo na primeira: x + 2y -(-2x)=3x+2y=0\implies y=-\tfrac32\,x.
A terceira fica satisfeita automaticamente. Logo o espaço nulo é \Ker(T)=\bigl\{(x,y,z)\mid y=-\tfrac32x,\;z=-2x\bigr\} =\Span\{(2,-3,-4)\}.
Passo 5
Pelo Teorema da Dimensão, \dim\Im(T)=2<3 e \dim\Ker(T)=1>0. Logo
\Ker(T)\neq\{0\}, então T não é injetora.
\Im(T)\neq\mathbb{R}^3, então T não é sobrejetora.
Resposta
(a) \displaystyle T(x,y,z)=(x+2y-z,\;2x+z,\;x-2y+2z).
(b) \displaystyle \Im(T)=\Span\{(1,2,1),\,(2,0,-2)\}.
(c) \displaystyle \Ker(T)=\Span\{(2,-3,-4)\}.
(d) T não é injetora (nulidade =1) e não é sobrejetora (posto =2<3).