A matriz oposta da matriz B=\left[\begin{array}{cc}7 & -3 \\\\ -1 & 0\end{array}\right] é representada por -B. Essa matriz é:
A) \left[\begin{array}{cc}-7 & 3 \\\\ 1 & 0\end{array}\right]
B) \left[\begin{array}{ll}7 & 3 \\\\ 1 & 0\end{array}\right]
C) \left[\begin{array}{cc}-7 & -3 \\\\ -1 & 0\end{array}\right]
D) \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{7} & -\frac{1}{3} \\\\ -1 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz B e pede a sua matriz oposta -B. A matriz B é:
B=\begin{pmatrix}7 & -3 \\[4pt] -1 & 0\end{pmatrix}.
A pergunta é: qual das alternativas A), B), C) ou D) representa -B?]

Passo 2

O que é a matriz oposta? Para qualquer matriz M=(m_{ij}), a matriz oposta -M é obtida multiplicando cada entrada por -1. Em outras palavras,
-M=\bigl(-1\bigr)\cdot M=\bigl(-m_{ij}\bigr).
Isso significa que, se M=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}, então
-M=\begin{pmatrix}-a & -b\\\\ -c & -d\end{pmatrix}.
Exemplo rápido e simples: a oposta de \begin{pmatrix}2 & -5\\\\ 0 & 1\end{pmatrix} é \begin{pmatrix}-2 & 5\\\\ 0 & -1\end{pmatrix}.

Passo 3

Aplicando esse procedimento à matriz B: multiplicar cada entrada por -1.
Calculemos entrada a entrada:
-1\cdot 7 = -7, \qquad -1\cdot(-3)=3, \qquad -1\cdot(-1)=1, \qquad -1\cdot 0 = 0.
Portanto a matriz oposta é
-B=\begin{pmatrix}-7 & 3 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora compare com as alternativas:
  • A) \displaystyle\begin{pmatrix}-7 & 3 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} — coincide exatamente com -B.
  • B) \displaystyle\begin{pmatrix}7 & 3 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} — o 7 deveria ser -7.
  • C) \displaystyle\begin{pmatrix}-7 & -3 \\[4pt] -1 & 0\end{pmatrix} — manteve sinais errados em algumas entradas.
  • D) \displaystyle\begin{pmatrix}\tfrac{1}{7} & -\tfrac{1}{3} \\[4pt] -1 & 0\end{pmatrix} — esta seria uma matriz com entradas reciprocais, não a oposta.
Logo, a alternativa que corresponde a -B é a alternativa A.]

Resposta

A) \displaystyle\begin{pmatrix}-7 & 3 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}]

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