1. Como a matriz de projeção ortográfica é construída matematicamente?

Passo 1

O enunciado pede para construirmos a matriz de projeção ortográfica, que é uma transformação linear em coordenadas homogêneas capaz de mapear um paralelepípedo de visão definido pelos planos x=l, x=r, y=b, y=t, z=n e z=f no cubo canônico [-1,1]^3. O conteúdo aqui envolve composição de translação e escala em \mathbb{R}^3 usando matrizes 4\times4.

Passo 2

Mapeamento em x: primeiro trazemos o centro do intervalo [l,r] para a origem, subtraindo \tfrac{r+l}{2}, e depois escalamos por \tfrac{2}{r-l} para que x=l vá em -1 e x=r em +1. Assim,
x'=\frac{2}{r-l}\Bigl(x-\frac{r+l}{2}\Bigr) =\frac{2}{r-l}x-\frac{r+l}{r-l}.

Passo 3

Mapeamento em y: de modo análogo, centralizamos em \tfrac{t+b}{2} e escalamos por \tfrac{2}{t-b}, obtendo
y'=\frac{2}{t-b}\Bigl(y-\frac{t+b}{2}\Bigr) =\frac{2}{t-b}y-\frac{t+b}{t-b}.

Passo 4

Mapeamento em z: desejamos que z=n mande para -1 e z=f para +1. Muitas APIs invertem o sinal de z para manter o sistema de coordenadas de olho para dentro, mas a forma geral é centralizar em \tfrac{f+n}{2} e escalar por \tfrac{2}{f-n}. Com eventual fator -1 para inversão, temos
z'=-\frac{2}{f-n}\Bigl(z-\frac{f+n}{2}\Bigr) =-\frac{2}{f-n}z-\frac{f+n}{f-n}.

Passo 5

Agora combinamos as transformações em uma única matriz homogênea M_{\text{ortho}}. As operações de escala aparecem nos elementos (1,1), (2,2), (3,3) e as translações nos termos de (1,4), (2,4), (3,4). A última linha é (0,0,0,1) para manter coordenadas homogêneas.

Resposta

M_{\text{ortho}} = \begin{pmatrix} \displaystyle \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & \displaystyle -\frac{r+l}{r-l} \\[1em] 0 & \displaystyle \frac{2}{t-b} & 0 & \displaystyle -\frac{t+b}{t-b} \\[1em] 0 & 0 & \displaystyle -\frac{2}{f-n} & \displaystyle -\frac{f+n}{f-n} \\[6pt] 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

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