- Como a matriz de projeção ortográfica é construída matematicamente?
Passo 1
O enunciado pede para construirmos a matriz de projeção ortográfica, que é uma transformação linear em coordenadas homogêneas capaz de mapear um paralelepípedo de visão definido pelos planos
,
,
,
,
e
no cubo canônico
. O conteúdo aqui envolve composição de translação e escala em
usando matrizes
.
Passo 2
Mapeamento em
: primeiro trazemos o centro do intervalo
para a origem, subtraindo
, e depois escalamos por
para que
vá em
e
em
. Assim,
Passo 3
Mapeamento em
: de modo análogo, centralizamos em
e escalamos por
, obtendo
Passo 4
Mapeamento em
: desejamos que
mande para
e
para
. Muitas APIs invertem o sinal de
para manter o sistema de coordenadas de olho para dentro, mas a forma geral é centralizar em
e escalar por
. Com eventual fator
para inversão, temos
Passo 5
Agora combinamos as transformações em uma única matriz homogênea
. As operações de escala aparecem nos elementos
,
,
e as translações nos termos de
,
,
. A última linha é
para manter coordenadas homogêneas.