Uma matriz quadrada chama-se ortogonal se ela é invertível e sua inversa é iual a sua transposta. Mostre que se uma matriz diagonal é também ortogonal, então os termos de sua diagonal principal são iguais a 1 ou -1 .

Passo 1

O enunciado nos dá uma matriz quadrada que é diagonal e é ortogonal. Vou listar claramente o que isso significa (tudo retirado do enunciado):
  • A matriz é diagonal; escrevemos D=\operatorname{diag}(d_1,d_2,\dots,d_n), onde d_i são os elementos da diagonal principal.
  • A matriz é ortogonal, isto é, é invertível e sua inversa é igual à sua transposta: D^{-1}=D^T.
    O que o problema pede: mostrar que cada elemento da diagonal principal satisfaz d_i=1 ou d_i=-1.

Passo 2

Propriedade da transposta de uma matriz diagonal. Explico por que a transposta de uma matriz diagonal é ela mesma:
  • Para D=\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n) temos D_{ij}=0 sempre que i\neq j e D_{ii}=d_i.
  • A transposta troca índices: D^T_{ij}=D_{ji}. Como D_{ji}=0 quando j\neq i, segue que D^T_{ij}=0 para i\neq j, e D^T_{ii}=D_{ii}=d_i.
    Portanto \;D^T=D.

Passo 3

Usar a condição de ortogonalidade com a observação do passo anterior. Como D é ortogonal temos D^{-1}=D^T. Pelo passo anterior temos D^T=D. Assim
D^{-1}=D.
Multiplicando ambos os lados por D (invocando que D é invertível) obtemos
D D^{-1}=D D \quad\Longrightarrow\quad I=D^2.
Logo a condição ortogonal reduz-se, no caso diagonal, à igualdade \;D^2=I.

Passo 4

Calcular D^2 quando D é diagonal. Para uma matriz diagonal D=\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n) vale
D^2=\operatorname{diag}(d_1^2,d_2^2,\dots,d_n^2).
Isto decorre do produto de matrizes: o único termo não nulo na soma para (D^2)_{ii} é D_{ii}D_{ii}=d_i^2, e fora da diagonal todas as entradas são zero.

Passo 5

Combinar D^2=I com a forma de D^2. Igualando as diagonais:
\operatorname{diag}(d_1^2,\dots,d_n^2)=\operatorname{diag}(1,\dots,1).
Portanto para cada i vale
d_i^2=1.
Resolver d_i^2=1 d_i=1 ou d_i=-1. Note que isso também garante d_i\neq 0, compatível com a invertibilidade exigida.

Passo 6

Resumo final com exemplo rápido para fixar: qualquer matriz diagonal ortogonal tem a forma \operatorname{diag}(\pm1,\pm1,\dots,\pm1). Exemplo concreto: \operatorname{diag}(1,-1) é ortogonal porque \operatorname{diag}(1,-1)^{-1}=\operatorname{diag}(1,-1)=\operatorname{diag}(1,-1)^T.

Resposta

Os elementos da diagonal principal são iguais a 1 ou -1.

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