Uma matriz quadrada chama-se ortogonal se ela é invertível e sua inversa é iual a sua transposta. Mostre que se uma matriz diagonal é também ortogonal, então os termos de sua diagonal principal são iguais a 1 ou -1 .
Passo 1
O enunciado nos dá uma matriz quadrada que é diagonal e é ortogonal. Vou listar claramente o que isso significa (tudo retirado do enunciado):
- A matriz é diagonal; escrevemos
, onde são os elementos da diagonal principal. - A matriz é ortogonal, isto é, é invertível e sua inversa é igual à sua transposta:
.
O que o problema pede: mostrar que cada elemento da diagonal principal satisfazou .
Passo 2
Propriedade da transposta de uma matriz diagonal. Explico por que a transposta de uma matriz diagonal é ela mesma:
- Para
temos sempre que e . - A transposta troca índices:
. Como quando , segue que para , e .
Portanto.
Passo 3
Usar a condição de ortogonalidade com a observação do passo anterior. Como
é ortogonal temos
. Pelo passo anterior temos
. Assim
Multiplicando ambos os lados por
(invocando que
é invertível) obtemos
Logo a condição ortogonal reduz-se, no caso diagonal, à igualdade
.
Passo 4
Calcular
quando
é diagonal. Para uma matriz diagonal
vale
Isto decorre do produto de matrizes: o único termo não nulo na soma para
é
, e fora da diagonal todas as entradas são zero.
Passo 5
Combinar
com a forma de
. Igualando as diagonais:
Portanto para cada
vale
Resolver
dá
ou
. Note que isso também garante
, compatível com a invertibilidade exigida.
Passo 6
Resumo final com exemplo rápido para fixar: qualquer matriz diagonal ortogonal tem a forma
. Exemplo concreto:
é ortogonal porque
.
Resposta
Os elementos da diagonal principal são iguais a
ou
.