Seja
e
. Mostre que:
Se
então
.
Se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
(essa informação não será necessária na prova). -
. - Hipótese:
.
O que se pede: mostrar que
, onde
é a matriz nula (todas as entradas iguais a zero).
Passo 2
Lembrete importante sobre igualdade de matrizes: se
e
são matrizes em
, então
Aplicando isso à hipótese
, escrevendo
, obtemos que, para todo par de índices
,
Passo 3
Agora resolvemos a equação em
Somando
em ambos os lados obtemos, para todo
,
Passo 4
Explicando por que isso implica
: em
o número
tem inverso multiplicativo
. Multiplicando a igualdade
por
obtemos
Outra forma de ver: em um corpo (como
) não existem divisores de zero, então
implica
pois
.
Passo 5
Como essa conclusão vale para todo par de índices
, todas as entradas de
são zero. Portanto
é a matriz nula.