Seja \alpha \in \mathbb{R} e A \in \mathbb{M}_{m \times n}(\mathbb{R}). Mostre que:
Se A=-A então A=\mathbf{0}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • \alpha \in \mathbb{R} (essa informação não será necessária na prova).
  • A \in \mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R}).
  • Hipótese: A = -A.
O que se pede: mostrar que A=\mathbf{0}, onde \mathbf{0} é a matriz nula (todas as entradas iguais a zero).

Passo 2

Lembrete importante sobre igualdade de matrizes: se A=(a_{ij}) e B=(b_{ij}) são matrizes em \mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R}), então
A=B \quad\Longleftrightarrow\quad a_{ij}=b_{ij}\\ \text{para todo } i\in\{1,\dots,m\},\, j\in\{1,\dots,n\}.
Aplicando isso à hipótese A=-A, escrevendo A=(a_{ij}), obtemos que, para todo par de índices (i,j),
a_{ij} = -a_{ij}.

Passo 3

Agora resolvemos a equação em \mathbb{R}
a_{ij} = -a_{ij}.
Somando a_{ij} em ambos os lados obtemos, para todo (i,j),
2a_{ij} = 0.

Passo 4

Explicando por que isso implica a_{ij}=0: em \mathbb{R} o número 2 tem inverso multiplicativo 1/2. Multiplicando a igualdade 2a_{ij}=0 por 1/2 obtemos
a_{ij} = \frac{1}{2}\cdot 0 = 0.
Outra forma de ver: em um corpo (como \mathbb{R}) não existem divisores de zero, então 2a_{ij}=0 implica a_{ij}=0 pois 2\neq 0.

Passo 5

Como essa conclusão vale para todo par de índices (i,j), todas as entradas de A são zero. Portanto A é a matriz nula.

Resposta

A=\mathbf{0}

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