Determine todas as matrizes A \in \mathbb{M}_{2}(\mathbb{R}) tais que A^{2}=I_{2}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar todas as matrizes A\in\mathbb{M}_{2}(\mathbb{R}) tais que
A^{2}=I_{2}.
Informações dadas (explicitando tudo que temos):
  • A matriz A é 2\times2 com entradas reais.
  • A condição é que, ao multiplicar A por si mesma, obtenha-se a matriz identidade I_{2}.
    A partir daqui vamos encontrar todas as matrizes que satisfazem essa identidade, descrevendo-as de forma completa e também dando maneiras práticas de reconhecer/ construir tais matrizes.

Passo 2

Primeira observação útil (autovalores possíveis).
Se v\neq0 é um autovetor de A associado a um autovalor \lambda, então A v=\lambda v. Aplicando A de novo e usando A^{2}=I_{2} obtemos
A^{2}v = A(Av) = A(\lambda v)=\lambda A v = \lambda^2 v.
Mas A^{2}v = I_{2}v = v. Portanto
\lambda^{2}v = v.
Como v\neq0, segue \lambda^{2}=1, ou seja os autovalores só podem ser
\lambda = 1 \quad\text{ou}\quad \lambda = -1.
Isso nos diz que o polinômio \,p(x)=x^{2}-1=(x-1)(x+1)\, anula A: p(A)=A^{2}-I_{2}=0.

Passo 3

Diagonalizabilidade (por que não há blocos de Jordan não-triviais).
O polinômio anulador p(x)=(x-1)(x+1) tem raízes distintas (sem multiplicidade). Quando uma matriz é anulada por um polinômio que se fatoriza em fatores lineares distintos, a matriz é diagonalizável (intuição: não há necessidade de vetores generalizados porque não há raízes repetidas no polinômio mínimo). Assim, A é diagonalizável sobre \mathbb{R}: existe invertível P tal que
P^{-1}AP = D,
onde D é uma matriz diagonal cujas entradas diagonais são algumas escolhas entre 1 e -1. Como A é 2\times2, as possibilidades para D são exatamente:
\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix}-1&0\\[4pt]0&-1\end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&-1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Classificação por casos — interpretar cada possibilidade diagonal.
  • Caso 1: D=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}. Então A=P D P^{-1}=P I_{2} P^{-1}=I_{2}. Logo I_{2} satisfaz A^{2}=I_{2}.
  • Caso 2: D=\begin{pmatrix}-1&0\\[4pt]0&-1\end{pmatrix}. Então A=P D P^{-1}=-I_{2}. Logo -I_{2} também satisfaz A^{2}=I_{2}.
  • Caso 3: D=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&-1\end{pmatrix}. Aqui A é qualquer matriz similar a essa diagonal. Ou seja, A é de forma A=P\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&-1\end{pmatrix}P^{-1} para algum invertível P. Essas matrizes têm um autovalor 1 e um autovalor -1.]

Passo 5

Caracterização alternativa e test prático usando traço e determinante.
Para matrizes 2\times2 a igualdade entre polinômios características dá uma forma simples de testar. A característica de A é
\chi_A(x)=x^{2} - (\operatorname{tr}A)\,x + \det A.
Se A tem autovalores 1 e -1, então \chi_A(x)=x^{2}-1. Comparando coeficientes obtemos
\operatorname{tr}A = 0,\qquad \det A = -1.
Por outro lado, aplicação do teorema de Cayley–Hamilton (que diz que A satisfaz sua própria polinomial característica) mostra que se uma matriz A satisfaz
\operatorname{tr}A = 0\quad\text{e}\quad \det A = -1,
então sua característica é x^{2}-1 e, aplicando Cayley–Hamilton,
A^{2} - (\operatorname{tr}A)A + (\det A)I_{2} = A^{2} - I_{2} = 0,
logo A^{2}=I_{2}. Portanto, as matrizes do Caso 3 são exatamente as matrizes 2\times2 reais com
\operatorname{tr}A=0\quad\text{e}\quad \det A=-1.
Resumindo os três tipos possíveis de solução:
  • A=I_{2} (traço 2, determinante 1);
  • A=-I_{2} (traço -2, determinante 1);
  • todas as matrizes com \operatorname{tr}A=0 e \det A=-1 (traço 0, determinante -1), equivalentes a matrizes conjugadas a \begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&-1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Outra descrição construtiva (via projeções).
Se A^{2}=I_{2} e A tem autovalores 1 e -1, então os espaços próprios E_{1} e E_{-1} são espaços complementares de dimensão 1. Seja P a projeção (idempotente) sobre E_{-1} com núcleo E_{1}; então P^{2}=P e
A = I_{2} - 2P.
Verificação rápida: se v\in E_{-1} então Pv=v e (I-2P)v = v-2v=-v; se v\in E_{1} então Pv=0 e (I-2P)v=v. Assim qualquer projeção P de posto 1 gera uma involução A com autovalores 1 e -1. Isso dá uma forma prática de construir todas as matrizes do terceiro tipo.

Resposta

Todas as matrizes A\in\mathbb{M}_{2}(\mathbb{R}) tais que A^{2}=I_{2} são exatamente as matrizes que são diagonalizáveis com autovalores em \{1,-1\}. Equivalentemente, são:
A=I_{2}, A=-I_{2}, ou qualquer matriz A similar a \begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&-1\end{pmatrix} (isto é, todas as matrizes com \operatorname{tr}A=0 e \det A=-1).]

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