Determine todas as matrizes
tais que
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar todas as matrizes
tais que
Informações dadas (explicitando tudo que temos):
- A matriz
é com entradas reais. - A condição é que, ao multiplicar
por si mesma, obtenha-se a matriz identidade .
A partir daqui vamos encontrar todas as matrizes que satisfazem essa identidade, descrevendo-as de forma completa e também dando maneiras práticas de reconhecer/ construir tais matrizes.
Passo 2
Primeira observação útil (autovalores possíveis).
Se é um autovetor de
associado a um autovalor
, então
. Aplicando
de novo e usando
obtemos
Se
Mas
. Portanto
Como
, segue
, ou seja os autovalores só podem ser
Isso nos diz que o polinômio
anula
:
.
Passo 3
Diagonalizabilidade (por que não há blocos de Jordan não-triviais).
O polinômio anulador tem raízes distintas (sem multiplicidade). Quando uma matriz é anulada por um polinômio que se fatoriza em fatores lineares distintos, a matriz é diagonalizável (intuição: não há necessidade de vetores generalizados porque não há raízes repetidas no polinômio mínimo). Assim,
é diagonalizável sobre
: existe invertível
tal que
O polinômio anulador
onde
é uma matriz diagonal cujas entradas diagonais são algumas escolhas entre
e
. Como
é
, as possibilidades para
são exatamente:
Passo 4
Classificação por casos — interpretar cada possibilidade diagonal.
-
Caso 1:
. Então . Logo satisfaz . -
Caso 2:
. Então . Logo também satisfaz . -
Caso 3:
. Aqui é qualquer matriz similar a essa diagonal. Ou seja, é de forma para algum invertível . Essas matrizes têm um autovalor e um autovalor .]
Passo 5
Caracterização alternativa e test prático usando traço e determinante.
Para matrizes a igualdade entre polinômios características dá uma forma simples de testar. A característica de
é
Para matrizes
Se
tem autovalores
e
, então
. Comparando coeficientes obtemos
Por outro lado, aplicação do teorema de Cayley–Hamilton (que diz que
satisfaz sua própria polinomial característica) mostra que se uma matriz
satisfaz
então sua característica é
e, aplicando Cayley–Hamilton,
logo
. Portanto, as matrizes do Caso 3 são exatamente as matrizes
reais com
Resumindo os três tipos possíveis de solução:
-
(traço , determinante ); -
(traço , determinante ); - todas as matrizes com
e (traço , determinante ), equivalentes a matrizes conjugadas a .]
Passo 6
Outra descrição construtiva (via projeções).
Se e
tem autovalores
e
, então os espaços próprios
e
são espaços complementares de dimensão
. Seja
a projeção (idempotente) sobre
com núcleo
; então
e
Se
Verificação rápida: se
então
e
; se
então
e
. Assim qualquer projeção
de posto
gera uma involução
com autovalores
e
. Isso dá uma forma prática de construir todas as matrizes do terceiro tipo.
Resposta
Todas as matrizes
tais que
são exatamente as matrizes que são diagonalizáveis com autovalores em
. Equivalentemente, são: