Sejam A, B e X matrizes n \times n, em que A é invertível. Expresse X em termos de A e B sabendo que (X A)^{t}=B.

Passo 1

O enunciado dá que A, B e X são matrizes n\times n e que A é invertível. A condição fornecida é
(XA)^{t}=B.
O que o problema pede: encontrar uma expressão para X em termos de A e B.
Informações relevantes dadas:
  • A é invertível (ou seja, existe A^{-1} tal que A A^{-1}=A^{-1}A=I).
  • A igualdade matriz envolvendo transposta (XA)^{t}=B.

Passo 2

Lembra do fato básico sobre transposta de produto de matrizes: para quaisquer matrizes compatíveis M e N,
(MN)^{t}=N^{t}M^{t}.
Isso significa que ao transpor um produto de matrizes a ordem dos fatores inverte-se e cada fator é transposto. É uma propriedade que se demonstra elemento a elemento: o elemento (i,j) de (MN)^{t} é igual ao elemento (j,i) de MN, que por definição é \sum_k M_{j k}N_{k i}; isso coincide com o elemento (i,j) de N^{t}M^{t}, que é \sum_k N^{t}_{i k}M^{t}_{k j}=\sum_k N_{k i}M_{j k}.

Passo 3

Aplique essa propriedade à igualdade dada com M=X e N=A:
(XA)^{t}=A^{t}X^{t}.
Pela hipótese do enunciado, o lado esquerdo vale B. Portanto obtemos a igualdade matricial
A^{t}X^{t}=B.

Passo 4

Agora isolamos X^{t}. Como A é invertível, também A^{t} é invertível e o inverso de A^{t} é (A^{-1})^{t}. Multiplicando à esquerda por (A^{t})^{-1} obtemos
X^{t}=(A^{t})^{-1}B.
Explicação curta: multiplicar por (A^{t})^{-1} cancela A^{t} à esquerda, assim como em equações escalares multiplicar por a^{-1} cancela a.

Passo 5

Para voltar de X^{t} para X, aplicamos a transposição em ambos os lados da expressão do Passo 4. Transpor uma igualdade conserva a igualdade, e vale (M N)^{t}=N^{t}M^{t} novamente. Assim:
X = \bigl(X^{t}\bigr)^{t} = \bigl((A^{t})^{-1}B\bigr)^{t} = B^{t}\bigl((A^{t})^{-1}\bigr)^{t}.
Aqui usei a regra do Passo 2 para transpor o produto (A^{t})^{-1}B.

Passo 6

Simplificação final: \bigl((A^{t})^{-1}\bigr)^{t}=( (A^{t})^{t} )^{-1}=A^{-1}, porque transpor e inverter trocam de ordem conforme \bigl(M^{-1}\bigr)^{t}=(M^{t})^{-1} e (A^{t})^{t}=A. Substituindo na expressão do Passo 5 obtemos
X=B^{t}A^{-1}.

Passo 7

Verificação rápida (para nos deixar tranquilos): calcule XA com a solução proposta:
X A = (B^{t}A^{-1})A = B^{t}(A^{-1}A)=B^{t}I=B^{t}.
Tomando transposta:
(XA)^{t}=(B^{t})^{t}=B,
que é exatamente a hipótese inicial, então a expressão encontrada é consistente.

Resposta

X=B^{t}A^{-1}

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