Sejam
,
e
matrizes
, em que
é invertível. Expresse
em termos de
e
sabendo que
.
Passo 1
O enunciado dá que
,
e
são matrizes
e que
é invertível. A condição fornecida é
O que o problema pede: encontrar uma expressão para
em termos de
e
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
-
é invertível (ou seja, existe tal que ). - A igualdade matriz envolvendo transposta
.
Passo 2
Lembra do fato básico sobre transposta de produto de matrizes: para quaisquer matrizes compatíveis
e
,
Isso significa que ao transpor um produto de matrizes a ordem dos fatores inverte-se e cada fator é transposto. É uma propriedade que se demonstra elemento a elemento: o elemento
de
é igual ao elemento
de
, que por definição é
; isso coincide com o elemento
de
, que é
.
Passo 3
Aplique essa propriedade à igualdade dada com
e
:
Pela hipótese do enunciado, o lado esquerdo vale
. Portanto obtemos a igualdade matricial
Passo 4
Agora isolamos
. Como
é invertível, também
é invertível e o inverso de
é
. Multiplicando à esquerda por
obtemos
Explicação curta: multiplicar por
cancela
à esquerda, assim como em equações escalares multiplicar por
cancela
.
Passo 5
Para voltar de
para
, aplicamos a transposição em ambos os lados da expressão do Passo 4. Transpor uma igualdade conserva a igualdade, e vale
novamente. Assim:
Aqui usei a regra do Passo 2 para transpor o produto
.
Passo 6
Simplificação final:
, porque transpor e inverter trocam de ordem conforme
e
. Substituindo na expressão do Passo 5 obtemos
Passo 7
Verificação rápida (para nos deixar tranquilos): calcule
com a solução proposta:
Tomando transposta:
que é exatamente a hipótese inicial, então a expressão encontrada é consistente.