Uma matriz quadrada A chama-se simétrica quando A=A^T e é chamada antisimétrica quando A=-A^T. Mostre que o conjunto S das matrizes simétricas e o conjunto W das matrizes antisimétricas de ordem n times n são subsepaços vetoriais de M(n times n). Mostre que M(n times n)=S oplus W.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, no espaço vetorial M(ntimes n) de todas as matrizes de ordem n, o conjunto
S = Ain M(ntimes n)mid A = A^T
das matrizes simétricas e
W = Ain M(ntimes n)mid A = -A^T
das matrizes antissimétricas (ou skew-symmetric) são subespaços, e que além disso
M(ntimes n) = S oplus W
Vamos precisar dos critérios de subespaço (contém o zero, fechado em soma e em múltiplo escalar) e da ideia de soma direta (todo vetor em M se escreve unicamente como soma de algo em S com algo em W).

Passo 2

Mostrando que S é subespaço de M(ntimes n):
  1. Zero: a matriz nula satisfaz ,0 = 0^T, logo 0in S.
  2. Soma: se A,Bin S, então
(A+B)^T ;=; A^T + B^T ;=; A + B,
logo A+Bin S.
3. Múltiplo escalar: para alpha escalar e Ain S,
(alpha A)^T ;=; alpha,A^T ;=;alpha A,
logo alpha Ain S.

Passo 3

Mostrando que W é subespaço de M(ntimes n):
  1. Zero: 0^T=0 e 0=-0, logo 0=-0^T e 0in W.
  2. Soma: se A,Bin W, então
(A+B)^T ;=; A^T + B^T ;=; -A + (-B) ;=; -(A+B),
logo A+Bin W.
3. Múltiplo escalar: para alpha escalar e Ain W,
(alpha A)^T ;=; alpha,A^T ;=;alpha(-A);=;-(alpha A),
logo alpha Ain W.

Passo 4

Mostrando que qualquer Ain M(ntimes n) se decompõe em parte simétrica e antissimétrica. Defina
SA = A + A^T2, WA = A - A^T2
Então
SA^T = A^T + (A^T)^T2 = A^T + A2 = SA,
logo SAin S, e
WA^T = A^T - (A^T)^T2 = A^T - A2 = -,A - A^T2 = -WA,
logo WAin W. Além disso
SA + WA = A + A^T2 + A - A^T2 = A
Isso mostra que M(ntimes n) = S + W.

Passo 5

Mostrando que a soma é direta, ou seja, Scap W = 0. Se Xin Scap W, então
X = X^T e X = -X^T
Combinando, X = -X, de onde 2X=0 e portanto X=0. Logo a interseção é só a matriz nula.

Resposta

Concluímos que S e W são subespaços de M(ntimes n) e que
M(ntimes n) = S oplus W

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