Uma matriz quadrada
chama-se simétrica quando
e é chamada antisimétrica quando
. Mostre que o conjunto
das matrizes simétricas e o conjunto
das matrizes antisimétricas de ordem
são subsepaços vetoriais de
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, no espaço vetorial
de todas as matrizes de ordem
, o conjunto
das matrizes simétricas e
das matrizes antissimétricas (ou skew-symmetric) são subespaços, e que além disso
Vamos precisar dos critérios de subespaço (contém o zero, fechado em soma e em múltiplo escalar) e da ideia de soma direta (todo vetor em
se escreve unicamente como soma de algo em
com algo em
).
Passo 2
Mostrando que
é subespaço de
:
- Zero: a matriz nula satisfaz
, logo . - Soma: se
, então
logo
.
3. Múltiplo escalar: para escalar e
,
3. Múltiplo escalar: para
logo
.
Passo 3
Mostrando que
é subespaço de
:
- Zero:
e , logo e . - Soma: se
, então
logo
.
3. Múltiplo escalar: para escalar e
,
3. Múltiplo escalar: para
logo
.
Passo 4
Mostrando que qualquer
se decompõe em parte simétrica e antissimétrica. Defina
Então
logo
, e
logo
. Além disso
Isso mostra que
.
Passo 5
Mostrando que a soma é direta, ou seja,
. Se
, então
Combinando,
, de onde
e portanto
. Logo a interseção é só a matriz nula.
Resposta
Concluímos que
e
são subespaços de
e que