- Defina
. Mostre que este é um produto interno sobre
.
Passo 1
O enunciado define em
a aplicação
e pede para mostrarmos que isso é um produto interno.
Conteúdo: teoria de produto interno em espaços reais.
Para isso precisamos verificar três propriedades:
Conteúdo: teoria de produto interno em espaços reais.
Para isso precisamos verificar três propriedades:
- simetria,
- bilinearidade (linearidade em cada argumento),
- positividade definida.
Passo 2
(Simetria)
Basta trocar os pares e
na definição e ver que a expressão não muda:
Basta trocar os pares
Logo
Passo 3
(Bilinearidade)
Vamos mostrar linearidade no primeiro argumento; a do segundo é análoga pela simetria.
Seja e
. Então
Vamos mostrar linearidade no primeiro argumento; a do segundo é análoga pela simetria.
Seja
Distribuindo soma, isto se separa exatamente em
Além disso
Passo 4
(Positividade definida)
Calculemos
Calculemos
Note que
e iguala zero só se
e
, isto é,
e
.
Portanto
Portanto
Resposta
Concluímos que a forma bilinear é simétrica e positiva definida, logo é um produto interno em
.