1. Defina lang<=(x1, y1),(x2, y2)rang<==2 x1 x2-x1 y2-x2 y1+2 y1 y2. Mostre que este é um produto interno sobre R^2.

Passo 1

O enunciado define em R^2 a aplicação
llang<= (x1,y1),(x2,y2)rrang<= ;=;2x1x2-x1y2-x2y1+2y1y2,
e pede para mostrarmos que isso é um produto interno.
Conteúdo: teoria de produto interno em espaços reais.
Para isso precisamos verificar três propriedades:
  1. simetria,
  2. bilinearidade (linearidade em cada argumento),
  3. positividade definida.

Passo 2

(Simetria)
Basta trocar os pares (x1,y1) e (x2,y2) na definição e ver que a expressão não muda:
2x2x1-x2y1-x1y2+2y2y1 ;=; 2x1x2-x1y2-x2y1+2y1y2
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llang<= (x1,y1),(x2,y2)rrang<= = llang<= (x2,y2),(x1,y1)rrang<=

Passo 3

(Bilinearidade)
Vamos mostrar linearidade no primeiro argumento; a do segundo é análoga pela simetria.
Seja (x1,y1),(x1',y1'),(x2,y2)inR^2 e alphainR. Então
llang<=(x1+x1',,y1+y1'),(x2,y2)rrang<= = 2(x1+x1')x2 -(x1+x1')y2 -x2(y1+y1') +2(y1+y1')y2
Distribuindo soma, isto se separa exatamente em
llang<=(x1,y1),(x2,y2)rrang<= + llang<=(x1',y1'),(x2,y2)rrang<=
Além disso
llang<=alpha(x1,y1),(x2,y2)rrang<= = 2(alpha x1)x2 -(alpha x1)y2 -x2(alpha y1) +2(alpha y1)y2 = alphallang<=(x1,y1),(x2,y2)rrang<=

Passo 4

(Positividade definida)
Calculemos
llang<=(x,y),(x,y)rrang<= = 2x^2 -2xy +2y^2 = 2l(x^2 -xy +y^2r)
Note que
x^2 -xy +y^2 = l(x-tfrac12yr)^2 +tfrac34,y^2 ;>=;0,
e iguala zero só se x-tfrac12y=0 e y=0, isto é, x=0 e y=0.
Portanto
llang<=(x,y),(x,y)rrang<=>0 sempre que (x,y)neq(0,0)

Resposta

Concluímos que a forma bilinear é simétrica e positiva definida, logo é um produto interno em R^2.

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