Seja F o subespaço do R^3 gerado pelos vetores u=(1,1,1) e v=(1,-1,-1). Encontre os números a, b, c com a seguinte propriedade: um vetor w=(x, y, z) pertence a F se, e somente se, a x+b y+c z=0.

Passo 1

O enunciado define F como o subespaço de R^3 gerado pelos vetores
u=(1,1,1), v=(1,-1,-1)
Como F é um plano que passa pela origem, sua equação pode ser escrita na forma
a x + b y + c z = 0,
onde o vetor normal n=(a,b,c) é ortogonal a u e a v.

Passo 2

Seja n=(a,b,c). A ortogonalidade a u e a v dá o sistema
acdot1 + bcdot1 + ccdot1 = 0,
acdot1 + bcdot(-1) + ccdot(-1) = 0

Passo 3

Somando as duas equações obtemos
2a = 0Longrightarrow a=0
Substituindo a=0 em a+b+c=0 resulta
b + c = 0Longrightarrow c = -b
Escolhendo b=1 (qualquer múltiplo escalar funciona) vem c=-1, logo
n = (0,1,-1)

Passo 4

A equação do plano F fica
0cdot x + 1cdot y + (-1)cdot z = 0 Long<=ftrightarrow y - z = 0

Resposta

(a,b,c) = (0,1,-1)

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