Sabendo que |u|=3,|v|=5, com u e v elementos de um espaço vetorial com produto interno, determine t in R de maneira que lang<= u+t v, u-t vrang<==0.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores u e v num espaço com produto interno, com normas |u|=3 e |v|=5. Queremos encontrar tinR tal que o vetor u+t v seja ortogonal a u-t v, ou seja,
lang<= u + t v,;u - t vrang<= = 0
Para isso vamos usar a bilinearidade e a simetria do produto interno, além da relação lang<= w,wrang<==|w|^2.

Passo 2

Aplicando a bilinearidade em cada argumento, temos
lang<= u + t v,;u - t vrang<= =lang<= u,urang<= - t,lang<= u,vrang<= + t,lang<= v,urang<= - t^2lang<= v,vrang<=

Passo 3

Pela simetria do produto interno lang<= v,urang<==lang<= u,vrang<=, os termos mistos se cancelam:
lang<= u + t v,;u - t vrang<= =lang<= u,urang<= - t^2lang<= v,vrang<= =|u|^2 - t^2|v|^2

Passo 4

Substituindo |u|^2=3^2=9 e |v|^2=5^2=25 e impondo igualdade a zero, obtém-se
9 - 25,t^2 = 0

Passo 5

Resolvendo para t:
25,t^2 = 9 Longrightarrow t^2 = 925 Longrightarrow t = pm 35

Resposta

t = pm tfrac35

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