Verifique se o critério de Sassenfeld é satisfeito em cada um dos sistemas abaixo e, em caso afirmativo, resolva o sistema pelo método de Gauss-Seidel, utilizando três iterações. \left\{\begin{aligned} 10 x_{1}+x_{2}+x_{3} & =12 \\\ x_{1}+10 x_{2}+x_{3} & =12 \\\ x_{1}+x_{2}-10 x_{3} & =12\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado dá o seguinte sistema linear e pede duas coisas: verificar o critério de Sassenfeld e, se o critério for satisfeito, resolver o sistema pelo método de Gauss–Seidel com três iterações.
Verificar se o critério de Sassenfeld é satisfeito para este sistema.
Caso afirmativo, aplicar o método de Gauss–Seidel e apresentar o resultado após três iterações.]
Passo 2
Explicando o critério de Sassenfeld (passo a passo, sem pular nada):
O critério de Sassenfeld dá uma condição suficiente para a convergência do método de Gauss–Seidel. Definimos números \beta_{1},\beta_{2},\dots,\beta_{n} pela fórmula sequencial
onde a_{ij} são os elementos da matriz A (ou seja, os coeficientes do sistema). A ideia é: para cada linha i usamos os \beta já calculados para as colunas anteriores e os coeficientes absolutos das colunas posteriores.
Se
\max_{1\le i\le n}\beta_{i}<1,
então o método de Gauss–Seidel converge para a solução para qualquer aproximação inicial. É uma condição suficiente (não necessária), muito útil porque é simples de checar.
Passo 3
Vamos calcular as \beta_{i} para o nosso sistema (faço cada passo numérico com calma).
Para a primeira linha (i=1): a_{11}=10, os coeficientes fora da diagonal são a_{12}=1 e a_{13}=1. Então
Concluímos a verificação: \max\{\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3}\}=0{,}2<1. Portanto, o critério de Sassenfeld é satisfeito e o método de Gauss–Seidel é garantido convergir para a solução deste sistema (para qualquer aproximação inicial). Ótimo — podemos aplicar Gauss–Seidel com segurança.
Passo 5
Agora explico como montar as fórmulas de iteração do método de Gauss–Seidel: isolamos cada variável na sua equação (sempre à esquerda o unknown que atualizamos, à direita resto usando valores atuais ou já atualizados).
Das equações temos, isolando cada x_{i}:
Observação sobre x_{3}: como o coeficiente de x_{3} é -10, ao isolar aparece um denominador -10; escrevi também na forma \frac{-12+x_{1}+x_{2}}{10} para alinhar com divisões por 10. No Gauss–Seidel, na iteração k+1 usamos os valores mais recentes já calculados para as componentes anteriores.
Escolho a aproximação inicial padrão \mathbf{x}^{(0)}=(0,0,0) (o enunciado não especificou outra). Vamos executar três iterações completas de Gauss–Seidel.
Passo 6
Iteração 1 (partindo de \mathbf{x}^{(0)}=(0,0,0)):