Verifique se o critério de Sassenfeld é satisfeito em cada um dos sistemas abaixo e, em caso afirmativo, resolva o sistema pelo método de Gauss-Seidel, utilizando três iterações.
\left\{\begin{aligned} 10 x_{1}+x_{2}+x_{3} & =12 \\\ x_{1}+10 x_{2}+x_{3} & =12 \\\ x_{1}+x_{2}-10 x_{3} & =12\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá o seguinte sistema linear e pede duas coisas: verificar o critério de Sassenfeld e, se o critério for satisfeito, resolver o sistema pelo método de Gauss–Seidel com três iterações.
\begin{cases} 10x_{1}+x_{2}+x_{3}=12\\[4pt] x_{1}+10x_{2}+x_{3}=12\\[4pt] x_{1}+x_{2}-10x_{3}=12 \end{cases}
Informações fornecidas (listei as equações e os coeficientes):
A=\begin{pmatrix} 10 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 10 & 1\\[4pt] 1 & 1 & -10 \end{pmatrix},\qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}12\\[4pt]12\\[4pt]12\end{pmatrix}.
Perguntas que o enunciado faz:
  1. Verificar se o critério de Sassenfeld é satisfeito para este sistema.
  2. Caso afirmativo, aplicar o método de Gauss–Seidel e apresentar o resultado após três iterações.]

Passo 2

Explicando o critério de Sassenfeld (passo a passo, sem pular nada):
O critério de Sassenfeld dá uma condição suficiente para a convergência do método de Gauss–Seidel. Definimos números \beta_{1},\beta_{2},\dots,\beta_{n} pela fórmula sequencial
\beta_{i}=\frac{1}{|a_{ii}|}\left(\sum_{j=1}^{i-1}|a_{ij}|\beta_{j}+\sum_{j=i+1}^{n}|a_{ij}|\right),
onde a_{ij} são os elementos da matriz A (ou seja, os coeficientes do sistema). A ideia é: para cada linha i usamos os \beta já calculados para as colunas anteriores e os coeficientes absolutos das colunas posteriores.
Se
\max_{1\le i\le n}\beta_{i}<1,
então o método de Gauss–Seidel converge para a solução para qualquer aproximação inicial. É uma condição suficiente (não necessária), muito útil porque é simples de checar.

Passo 3

Vamos calcular as \beta_{i} para o nosso sistema (faço cada passo numérico com calma).
Para a primeira linha ( i=1): a_{11}=10, os coeficientes fora da diagonal são a_{12}=1 e a_{13}=1. Então
\beta_{1}=\frac{|a_{12}|+|a_{13}|}{|a_{11}|}=\frac{1+1}{10}=\frac{2}{10}=0{,}2.
Para a segunda linha ( i=2): a_{22}=10. Usamos \beta_{1} para a soma sobre j=1 e o coeficiente a_{23}=1 para j>2:
\beta_{2}=\frac{|a_{21}|\beta_{1}+|a_{23}|}{|a_{22}|}=\frac{1\cdot 0{,}2 + 1}{10}=\frac{1{,}2}{10}=0{,}12.
Para a terceira linha ( i=3): a_{33}=-10, então |a_{33}|=10. Usamos \beta_{1} e \beta_{2} para as colunas anteriores; não há colunas posteriores:
\beta_{3}=\frac{|a_{31}|\beta_{1}+|a_{32}|\beta_{2}}{|a_{33}|}=\frac{1\cdot 0{,}2 + 1\cdot 0{,}12}{10}=\frac{0{,}32}{10}=0{,}032.
Agora vemos os valores:
\beta_{1}=0{,}2,\qquad \beta_{2}=0{,}12,\qquad \beta_{3}=0{,}032.

Passo 4

Concluímos a verificação: \max\{\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3}\}=0{,}2<1. Portanto, o critério de Sassenfeld é satisfeito e o método de Gauss–Seidel é garantido convergir para a solução deste sistema (para qualquer aproximação inicial). Ótimo — podemos aplicar Gauss–Seidel com segurança.

Passo 5

Agora explico como montar as fórmulas de iteração do método de Gauss–Seidel: isolamos cada variável na sua equação (sempre à esquerda o unknown que atualizamos, à direita resto usando valores atuais ou já atualizados).
Das equações temos, isolando cada x_{i}:
x_{1}=\frac{12 - x_{2} - x_{3}}{10},
x_{2}=\frac{12 - x_{1} - x_{3}}{10},
x_{3}=\frac{12 - x_{1} - x_{2}}{-10}=\frac{-12 + x_{1}+x_{2}}{10}.
Observação sobre x_{3}: como o coeficiente de x_{3} é -10, ao isolar aparece um denominador -10; escrevi também na forma \frac{-12+x_{1}+x_{2}}{10} para alinhar com divisões por 10. No Gauss–Seidel, na iteração k+1 usamos os valores mais recentes já calculados para as componentes anteriores.
Escolho a aproximação inicial padrão \mathbf{x}^{(0)}=(0,0,0) (o enunciado não especificou outra). Vamos executar três iterações completas de Gauss–Seidel.

Passo 6

Iteração 1 (partindo de \mathbf{x}^{(0)}=(0,0,0)):
  • Atualizamos x_{1}^{(1)}:
x_{1}^{(1)}=\frac{12 - x_{2}^{(0)} - x_{3}^{(0)}}{10}=\frac{12-0-0}{10}=\frac{12}{10}=1{,}2.
  • Atualizamos x_{2}^{(1)} usando x_{1}^{(1)}:
x_{2}^{(1)}=\frac{12 - x_{1}^{(1)} - x_{3}^{(0)}}{10}=\frac{12-1{,}2-0}{10}=\frac{10{,}8}{10}=1{,}08.
  • Atualizamos x_{3}^{(1)} usando x_{1}^{(1)},x_{2}^{(1)}:
x_{3}^{(1)}=\frac{12 - x_{1}^{(1)} - x_{2}^{(1)}}{-10}=\frac{12-1{,}2-1{,}08}{-10}=\frac{9{,}72}{-10}=-0{,}972.
Portanto após a primeira iteração:
\mathbf{x}^{(1)}=\begin{pmatrix}1{,}2\\[4pt]1{,}08\\[4pt]-0{,}972\end{pmatrix}.]

Passo 7

Iteração 2 (usando \mathbf{x}^{(1)} para atualizar):
  • x_{1}^{(2)}:
x_{1}^{(2)}=\frac{12 - x_{2}^{(1)} - x_{3}^{(1)}}{10}=\frac{12-1{,}08-(-0{,}972)}{10}=\frac{11{,}892}{10}=1{,}1892.
  • x_{2}^{(2)}:
x_{2}^{(2)}=\frac{12 - x_{1}^{(2)} - x_{3}^{(1)}}{10}=\frac{12-1{,}1892-(-0{,}972)}{10}=\frac{11{,}7828}{10}=1{,}17828.
  • x_{3}^{(2)}:
x_{3}^{(2)}=\frac{12 - x_{1}^{(2)} - x_{2}^{(2)}}{-10}=\frac{12-1{,}1892-1{,}17828}{-10}=\frac{9{,}63252}{-10}=-0{,}963252.
Assim
\mathbf{x}^{(2)}=\begin{pmatrix}1{,}1892\\[4pt]1{,}17828\\[4pt]-0{,}963252\end{pmatrix}.]

Passo 8

Iteração 3 (usando \mathbf{x}^{(2)}):
  • x_{1}^{(3)}:
x_{1}^{(3)}=\frac{12 - x_{2}^{(2)} - x_{3}^{(2)}}{10}=\frac{12-1{,}17828-(-0{,}963252)}{10}=\frac{11{,}784972}{10}=1{,}1784972.
  • x_{2}^{(3)}:
x_{2}^{(3)}=\frac{12 - x_{1}^{(3)} - x_{3}^{(2)}}{10}=\frac{12-1{,}1784972-(-0{,}963252)}{10}=\frac{11{,}7847548}{10}=1{,}17847548.
  • x_{3}^{(3)}:
x_{3}^{(3)}=\frac{12 - x_{1}^{(3)} - x_{2}^{(3)}}{-10}=\frac{12-1{,}1784972-1{,}17847548}{-10}=\frac{9{,}64302732}{-10}=-0{,}964302732.
Após três iterações obtemos:
\mathbf{x}^{(3)}\approx\begin{pmatrix}1{,}1784972\\[4pt]1{,}17847548\\[4pt]-0{,}964302732\end{pmatrix}.]

Resposta

x_{1}\approx 1{,}1784972
x_{2}\approx 1{,}17847548
x_{3}\approx -0{,}964302732

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