Uma matriz quadrada
é dita idempotente se
. O que se pode dizer sobre os determinantes das matrizes idempotentes ?
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz quadrada (digamos de ordem
) e que ela é idempotente, isto é,
A pergunta é: o que se pode dizer sobre
?
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
O que se pede: caracterizar os possíveis valores de
e, quando possível, explicar o que cada caso significa (por exemplo, quando
ou
).
Passo 2
Vamos usar uma propriedade fundamental dos determinantes: para quaisquer matrizes quadradas
e
de mesma ordem vale
Esta propriedade diz que o determinante é multiplicativo. Vou aplicar isso à igualdade
. Tomando determinante em ambos os lados obtemos
Pelo fato multiplicativo do determinante, o lado esquerdo é
Passo 3
Comparando as duas expressões do passo anterior, chegamos à igualdade
Isto é uma equação quadrática em
. Colocando tudo num lado:
Uma vez que estamos trabalhando em um corpo (por exemplo os reais, complexos ou qualquer corpo em que a teoria das matrizes é usual), uma solução do produto ser zero é que um dos fatores seja zero. Portanto as soluções são
Passo 4
Interpretação dos dois casos:
- Se
, então é singular (não é invertível). Isso é bastante comum para matrizes idempotentes que representam projeções não triviais: por exemplo, a matriz diagonal
é idempotente e tem determinante
.
- Se
, então é invertível. Para matrizes idempotentes invertíveis podemos mostrar que isso força a ser a identidade. De fato, se é invertível da igualdade multiplicamos à direita (ou à esquerda) por e obtemos
Logo a única matriz idempotente invertível é a matriz identidade
(de ordem
), cuja determinante é
.]
Passo 5
Observações adicionais (intuição e exemplos):
- Uma forma de ver por outra via é olhar para autovalores: se
é autovetor de com autovalor , então
logo
. Assim todos os autovalores são
ou
e o determinante (produto dos autovalores, contando multiplicidade) é
ou
. Isto fornece a mesma conclusão de forma complementar.
- Exemplos concretos:
-
é idempotente e . -
(matriz nula) é idempotente e . - Qualquer projeção não trivial (por exemplo
) é idempotente e tem determinante se tiver pelo menos um autovalor .
-
Passo 6
Resumo do raciocínio prático que você pode usar na prova: aplique
em
, use
, resolva
e interprete os casos de determinante
(matriz singular, projeção típica) e
(então a matriz é invertível e, por ser idempotente, deve ser a identidade).
Resposta
O determinante de uma matriz idempotente é
ou
.
Além disso, se, e somente se,
.
Além disso,