Uma matriz quadrada M é dita idempotente se M^{2}=M. O que se pode dizer sobre os determinantes das matrizes idempotentes ?

Passo 1

O enunciado diz que M é uma matriz quadrada (digamos de ordem n) e que ela é idempotente, isto é,
M^{2}=M.
A pergunta é: o que se pode dizer sobre \det(M)?
Informações relevantes dadas:
\text{(i) }M\text{ é quadrada de ordem }n,\qquad\text{(ii) }M^{2}=M.é
O que se pede: caracterizar os possíveis valores de \det(M) e, quando possível, explicar o que cada caso significa (por exemplo, quando \det(M)=1 ou \det(M)=0).

Passo 2

Vamos usar uma propriedade fundamental dos determinantes: para quaisquer matrizes quadradas A e B de mesma ordem vale
\det(AB)=\det(A)\det(B).
Esta propriedade diz que o determinante é multiplicativo. Vou aplicar isso à igualdade M^{2}=M. Tomando determinante em ambos os lados obtemos
\det(M^{2})=\det(M).
Pelo fato multiplicativo do determinante, o lado esquerdo é
\det(M^{2})=\det(M\cdot M)=\det(M)\det(M)=\bigl(\det(M)\bigr)^{2}.

Passo 3

Comparando as duas expressões do passo anterior, chegamos à igualdade
\bigl(\det(M)\bigr)^{2}=\det(M).
Isto é uma equação quadrática em \det(M). Colocando tudo num lado:
\det(M)\bigl(\det(M)-1\bigr)=0.
Uma vez que estamos trabalhando em um corpo (por exemplo os reais, complexos ou qualquer corpo em que a teoria das matrizes é usual), uma solução do produto ser zero é que um dos fatores seja zero. Portanto as soluções são
\det(M)=0\quad\text{ou}\quad\det(M)=1.

Passo 4

Interpretação dos dois casos:
  • Se \det(M)=0, então M é singular (não é invertível). Isso é bastante comum para matrizes idempotentes que representam projeções não triviais: por exemplo, a matriz diagonal
\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}
é idempotente e tem determinante 0.
  • Se \det(M)=1, então M é invertível. Para matrizes idempotentes invertíveis podemos mostrar que isso força M a ser a identidade. De fato, se M é invertível da igualdade M^{2}=M multiplicamos à direita (ou à esquerda) por M^{-1} e obtemos
M = I.
Logo a única matriz idempotente invertível é a matriz identidade I (de ordem n), cuja determinante é 1.]

Passo 5

Observações adicionais (intuição e exemplos):
  • Uma forma de ver por outra via é olhar para autovalores: se v é autovetor de M com autovalor \lambda, então
M^{2}v = Mv \Rightarrow \lambda^{2}v = \lambda v \Rightarrow \lambda^{2}=\lambda,
logo \lambda\in\{0,1\}. Assim todos os autovalores são 0 ou 1 e o determinante (produto dos autovalores, contando multiplicidade) é 0 ou 1. Isto fornece a mesma conclusão de forma complementar.
  • Exemplos concretos:
    • M=I_{n} é idempotente e \det(M)=1.
    • M=0_{n} (matriz nula) é idempotente e \det(M)=0.
    • Qualquer projeção não trivial (por exemplo \operatorname{diag}(1,1,0,\dots,0)) é idempotente e tem determinante 0 se tiver pelo menos um autovalor 0.

Passo 6

Resumo do raciocínio prático que você pode usar na prova: aplique \det em M^{2}=M, use \det(M^{2})=(\det M)^{2}, resolva (\det M)^{2}=\det M e interprete os casos de determinante 0 (matriz singular, projeção típica) e 1 (então a matriz é invertível e, por ser idempotente, deve ser a identidade).

Resposta

O determinante de uma matriz idempotente é 0 ou 1.
Além disso, \det(M)=1 se, e somente se, M=I.

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