Exixte alguma matriz quadrada A tal que \operatorname{det}\left(A^{t} \cdot A\right)=-1 ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pergunta se existe alguma matriz quadrada A tal que
\operatorname{det}\!\left(A^{t}\cdot A\right) = -1.
Informações e observações dadas pelo enunciado:
  • A é uma matriz quadrada (digamos de ordem n).
  • O símbolo A^{t} indica a transposta de A.
  • O enunciado não especifica explicitamente sobre quais números os elementos de A variam (por exemplo, números reais ou complexos). Essa diferença é relevante e vou tratá-la ao longo da resolução.
  • A pergunta é de existência: “existe alguma matriz A” com a propriedade indicada? Se sim, dar um exemplo; se não, justificar por que é impossível.

Passo 2

Vamos lembrar e justificar duas propriedades fundamentais de determinantes que usaremos. Vou explicar cada uma de forma intuitiva e com a conta mínima necessária para você aplicar numa prova.
Propriedade 1 — multiplicatividade:
\operatorname{det}(BC)=\operatorname{det}(B)\,\operatorname{det}\text{(C)}
para quaisquer matrizes quadradas B e C da mesma ordem. Intuição: o determinante mede o fator de escala de volumes quando aplicamos a transformação linear. Compor duas transformações escala o volume por fatores que se multiplicam, logo os determinantes se multiplicam. Em provas formais essa propriedade decorre da definição do determinante (soma sobre permutações) ou de propriedades de operações elementares de linha.
Propriedade 2 — determinante da transposta:
\operatorname{det}\!\left(B^{t}\right)=\operatorname{det}(B).
Justificativa curta: pela fórmula do determinante como soma sobre permutações, trocar índices linha/coluna (fazer a transposta) apenas permuta os fatores internos sem alterar o sinal nem os produtos finais; portanto o valor não muda. Geometricamente, transpor corresponde a refletir a forma da matriz mas não altera o fator de escala de volumes.

Passo 3

Usando as propriedades acima, calculemos \operatorname{det}\!\left(A^{t}A\right) em termos de \operatorname{det}(A).
Pelo item da multiplicatividade:
\operatorname{det}\!\left(A^{t}A\right)=\operatorname{det}\!\left(A^{t}\right)\,\operatorname{det}(A).
Pela propriedade da transposta:
\operatorname{det}\!\left(A^{t}\right)=\operatorname{det}(A).
Portanto, juntando as duas igualdades,
\operatorname{det}\!\left(A^{t}A\right)=\operatorname{det}(A)\,\operatorname{det}(A)=\bigl(\operatorname{det}(A)\bigr)^{2}.

Passo 4

Agora interpreto a igualdade \operatorname{det}\!\left(A^{t}A\right)=\bigl(\operatorname{det}(A)\bigr)^{2}.
Se os elementos de A são números reais, então \operatorname{det}(A) é um número real (o determinante de uma matriz real é uma combinação finita de produtos e somas de entradas, logo real). Para qualquer número real x vale x^{2}\ge 0. Assim
\bigl(\operatorname{det}(A)\bigr)^{2}\ge 0.
Logo, para matrizes reais, \operatorname{det}\!\left(A^{t}A\right) é sempre um número real não negativo. Portanto não pode ser -1 (que é negativo). Conclusão: não existe matriz quadrada real A com \operatorname{det}\!\left(A^{t}A\right)=-1.

Passo 5

Agora considere o caso em que permitimos entradas complexas em A. Nada na dedução anterior dependia do campo além das propriedades formais do determinante; continuamos tendo
\operatorname{det}\!\left(A^{t}A\right)=\bigl(\operatorname{det}(A)\bigr)^{2},
mas agora \operatorname{det}(A) pode ser um número complexo. Para números complexos z é possível que z^{2}=-1: por exemplo z=i (onde i^{2}=-1).
Um exemplo muito simples de matriz complexa que funciona é a matriz 1\times1 A=(i). Vamos verificar:
A^{t}A=(i)\cdot(i)=(i^{2})=(-1).
O determinante de uma matriz 1\times1 é o próprio elemento, portanto
\operatorname{det}\!\left(A^{t}A\right)=-1.
Portanto, se permitirmos matrizes com entradas complexas, existe sim uma matriz A tal que \operatorname{det}\!\left(A^{t}A\right)=-1.

Passo 6

Resumo do raciocínio prático que você deve levar para a prova:
  • Use sempre \operatorname{det}\!\left(A^{t}A\right)=\bigl(\operatorname{det}(A)\bigr)^{2}.
  • Se A for real, \operatorname{det}(A)\in\mathbb{R} e seu quadrado é \ge 0, então -1 é impossível.
  • Se A for complexa, \operatorname{det}(A) pode ser i e aí o quadrado pode ser -1; um exemplo é A=(i).
Força aí — a ideia central é sempre essa igualdade do passo 3; o resto é só olhar o sinal (reais) ou aproveitar números complexos.

Resposta

Não existe tal matriz se A tiver entradas reais.
Existe tal matriz se A puder ter entradas complexas; por exemplo A=(i) (matriz 1\times1), pois \operatorname{det}\!\left(A^{t}A\right)=(-1).

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