É possível existit uma matriz A de ordem 2025 tal que A^{2}+I_{2025}=O ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pergunta se existe uma matriz A de ordem 2025 tal que
A^{2}+I_{2025}=O_{2025}.
Informações dadas:
  • A ordem da matriz é 2025 (ou seja, n=2025).
  • A equação exigida é A^{2} = -I_{2025}.
  • O enunciado não especifica explicitamente sobre qual corpo (por exemplo, \mathbb{R} ou \mathbb{C}) as entradas de A pertencem. Vou tratar os dois casos mais comuns: matrizes com entradas reais e matrizes com entradas complexas.
  • A pergunta pede uma justificativa (ou seja, uma prova da impossibilidade ou um exemplo concreto).

Passo 2

Lembrete útil (propriedade de determinante) — aula rápida:
  • Para qualquer matriz quadrada B de ordem n vale a propriedade
\det(BC)=\det(B)\det\text{(C)}.
  • Em particular, para B=C=A obtemos
\det(A^{2})=\det(A)\det(A)=\det(A)^{2}.
  • Outra propriedade: para escalares c e matriz identidade I_{n} temos
\det(cI_{n})=c^{n}\det(I_{n})=c^{n},
porque \det(I_{n})=1.
Vou usar essas propriedades de forma explícita e simples no próximo passo.

Passo 3

Trabalhando no caso em que as entradas de A são reais (ou seja, A\in M_{2025}(\mathbb{R})):
Se A satisfaz A^{2}=-I_{2025}, então aplicando determinante em ambos os lados obtemos
\det(A^{2})=\det(-I_{2025}).
Usando as propriedades do passo anterior:
\det(A)^{2}=\det(-I_{2025}).
Mas \det(-I_{2025}) é, pelo item anterior, (-1)^{2025}. Logo
\det(A)^{2}=(-1)^{2025}.

Passo 4

Agora avaliaremos o lado direito: como 2025 é um número ímpar, temos
(-1)^{2025}=-1.
Portanto a igualdade do passo anterior fica
\det(A)^{2}=-1.

Passo 5

Aqui vem a contradição clara para o caso real: se \det(A) é um número real (porque A tem entradas reais), então \det(A)^{2} é um número real não negativo (quadrado de um real). Logo \det(A)^{2}\ge 0. Mas a igualdade acima exige \det(A)^{2}=-1, que é negativo. Isso é impossível em \mathbb{R}. Conclusão:
  • Não existe matriz A\in M_{2025}(\mathbb{R}) tal que A^{2}+I_{2025}=O_{2025}.

Passo 6

Breve comentário didático extra (autoconfiança para a prova): outra maneira de ver intuitivamente por que dá problema em dimensão ímpar sobre \mathbb{R} é olhar para autovalores. Se A^{2}=-I, então todo autovalor \lambda de A satisfaz \lambda^{2}=-1, ou seja \lambda=\pm i. Esses autovalores não são reais, logo A não pode ter espectro real — isso é compatível com a impossibilidade sobre \mathbb{R} em dimensão ímpar por razões análogas (determinante é produto dos autovalores e daria (-1)^{n}). Mas para a prova formal, a via do determinante é suficiente e direta.

Passo 7

Agora o caso complexo (apenas para completar e não te deixar com dúvida): se aceitarmos matrizes com entradas complexas ( A\in M_{2025}(\mathbb{C})), então é possível. Um exemplo simples é tomar
A=iI_{2025},
onde i é a unidade imaginária com i^{2}=-1. De fato,
A^{2}=(iI_{2025})^{2}=i^{2}I_{2025}=-I_{2025},
logo A^{2}+I_{2025}=O_{2025}. Portanto sobre \mathbb{C} existe sim.

Resposta

Não existe se A for uma matriz com entradas reais ( A\in M_{2025}(\mathbb{R})).
Sim, existe se A for uma matriz com entradas complexas ( A\in M_{2025}(\mathbb{C})); por exemplo A=iI_{2025}.

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