É possível existit uma matriz
de ordem 2025 tal que
? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pergunta se existe uma matriz
de ordem
tal que
Informações dadas:
- A ordem da matriz é
(ou seja, ). - A equação exigida é
. - O enunciado não especifica explicitamente sobre qual corpo (por exemplo,
ou ) as entradas de pertencem. Vou tratar os dois casos mais comuns: matrizes com entradas reais e matrizes com entradas complexas. - A pergunta pede uma justificativa (ou seja, uma prova da impossibilidade ou um exemplo concreto).
Passo 2
Lembrete útil (propriedade de determinante) — aula rápida:
- Para qualquer matriz quadrada
de ordem vale a propriedade
- Em particular, para
obtemos
- Outra propriedade: para escalares
e matriz identidade temos
porque
.
Vou usar essas propriedades de forma explícita e simples no próximo passo.
Passo 3
Trabalhando no caso em que as entradas de
são reais (ou seja,
):
Se
satisfaz
, então aplicando determinante em ambos os lados obtemos
Usando as propriedades do passo anterior:
Mas
é, pelo item anterior,
. Logo
Passo 4
Agora avaliaremos o lado direito: como
é um número ímpar, temos
Portanto a igualdade do passo anterior fica
Passo 5
Aqui vem a contradição clara para o caso real: se
é um número real (porque
tem entradas reais), então
é um número real não negativo (quadrado de um real). Logo
. Mas a igualdade acima exige
, que é negativo. Isso é impossível em
. Conclusão:
- Não existe matriz
tal que .
Passo 6
Breve comentário didático extra (autoconfiança para a prova): outra maneira de ver intuitivamente por que dá problema em dimensão ímpar sobre
é olhar para autovalores. Se
, então todo autovalor
de
satisfaz
, ou seja
. Esses autovalores não são reais, logo
não pode ter espectro real — isso é compatível com a impossibilidade sobre
em dimensão ímpar por razões análogas (determinante é produto dos autovalores e daria
). Mas para a prova formal, a via do determinante é suficiente e direta.
Passo 7
Agora o caso complexo (apenas para completar e não te deixar com dúvida): se aceitarmos matrizes com entradas complexas (
), então é possível. Um exemplo simples é tomar
onde
é a unidade imaginária com
. De fato,
logo
. Portanto sobre
existe sim.
Resposta
Não existe se
for uma matriz com entradas reais (
).
Sim, existe se for uma matriz com entradas complexas (
); por exemplo
.
Sim, existe se