Resolva pela regra de Cramer os seguintes sistemas:
\left\{\begin{aligned}-x-4 y+2 z+w & =-32 \\\\ 2 x-y+7 z+9 w & =14 \\\\ -x+y+3 z+w & =11 \\\ x-2 y+z & -4 w\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear por Cramer. O sistema dado é
\left\{\begin{aligned} -x-4y+2z+w &= -32,\\[4pt] 2x-y+7z+9w &= 14,\\[4pt] -x+y+3z+w &= 11,\\[4pt] x-2y+z &= -4w. \end{aligned}\right.
As informações relevantes que temos:
\begin{aligned} &\text{Variáveis: }x,\;y,\;z,\;w.\\\ &\text{Cada equação é linear nas quatro variáveis.}\\\ &\text{A última equação foi escrita como }x-2y+z = -4w\text{ (portanto, ao passar para a forma usual, }x-2y+z+4w=0\text{).} \end{aligned}áçãéáúçã
O que precisamos encontrar: os valores de \;x,\;y,\;z,\;w\; que satisfazem todas as quatro equações.]

Passo 2

Breve explicação da regra de Cramer (a ferramenta que vamos usar).
\text{Se }A\text{ é a matriz dos coeficientes }(n\times n)\text{ e }b\text{ o vetor dos termos independentes,}é
e se \det(A)\neq 0, então o sistema A\mathbf{x}=b tem solução única dada por
x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)},\quad i=1,\dots,n,
onde A_i é a matriz obtida de A substituindo a i-ésima coluna por b.
Explicando os símbolos:
A=\text{matriz }n\times n\text{ dos coeficientes},\qquad b=\text{vetor coluna dos termos à direita},à
\det(A) é o determinante de A. Para calcular \det(A) podemos usar eliminação por linhas (fazendo operações elementares que preservam o determinante ou mudam por um sinal/fator) ou expansão por cofatores. Vou usar uma combinação de troca de linhas e eliminação para \det(A) e expansão por cofatores quando for conveniente.

Passo 3

Escrevemos a matriz dos coeficientes A (na ordem das incógnitas (x,y,z,w)) e o vetor b:
A= \begin{pmatrix} -1 & -4 & 2 & 1\\[4pt] 2 & -1 & 7 & 9\\[4pt] -1 & 1 & 3 & 1\\[4pt] 1 & -2 & 1 & 4 \end{pmatrix},\qquad b= \begin{pmatrix} -32\\[4pt] 14\\[4pt] 11\\[4pt] 0 \end{pmatrix}.
Observação: na quarta equação passamos o termo -4w para o lado esquerdo, ficando coeficiente de w igual a 4, e o termo independente igual a 0.]

Passo 4

Calculamos \det(A). Para simplificar, faço uma troca de linhas para ter um pivô 1 no início (troca R_1\leftrightarrow R_4); isso inverte o sinal do determinante:
\begin{aligned} \text{Depois de }R_1\leftrightarrow R_4:\quad A'&= \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 4\\[4pt] 2 & -1 & 7 & 9\\[4pt] -1 & 1 & 3 & 1\\[4pt] -1 & -4 & 2 & 1 \end{pmatrix},\\\ \det(A')&=-\det(A). \end{aligned}
Agora uso eliminação com o pivô da primeira linha para zerar a primeira coluna abaixo:
\begin{aligned} R_2 &\leftarrow R_2-2R_1 \Rightarrow (0,\;3,\;5,\;1),\\[4pt] R_3 &\leftarrow R_3+R_1 \Rightarrow (0,\;-1,\;4,\;5),\\[4pt] R_4 &\leftarrow R_4+R_1 \Rightarrow (0,\;-6,\;3,\;5). \end{aligned}
Ficamos com a forma (triangular por blocos)
A' \sim \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 4\\[4pt] 0 & 3 & 5 & 1\\[4pt] 0 & -1 & 4 & 5\\[4pt] 0 & -6 & 3 & 5 \end{pmatrix}.
O determinante de A' é o produto do pivô 1 pela det do sub-bloco 3\times3
B=\begin{pmatrix}3&5&1\\[4pt]-1&4&5\\[4pt]-6&3&5\end{pmatrix},
ou seja \det(A')=1\cdot\det(B). Calculo \det(B) por expansão:
\begin{aligned} \det(B)&=3\begin{vmatrix}4&5\\[2pt]3&5\end{vmatrix} -5\begin{vmatrix}-1&5\\[2pt]-6&5\end{vmatrix} +1\begin{vmatrix}-1&4\\[2pt]-6&3\end{vmatrix}\\[6pt] &=3(4\cdot5-5\cdot3)-5((-1)\cdot5-5\cdot(-6))+1((-1)\cdot3-4\cdot(-6))\\[6pt] &=3(20-15)-5(-5+30)+1(-3+24)\\[6pt] &=3\cdot5-5\cdot25+21\\[4pt] &=15-125+21=-89. \end{aligned}
Portanto \det(A')=-89. Lembrando que \det(A')=-\det(A), temos
\det(A)=89.
Importante: \det(A)\neq 0, então a regra de Cramer pode ser aplicada e existe solução única.]

Passo 5

Agora aplicamos Cramer: para x substituímos a 1ª coluna de A por b e calculamos \det(A_x).
A matriz A_x é
A_x= \begin{pmatrix} -32 & -4 & 2 & 1\\[4pt] 14 & -1 & 7 & 9\\[4pt] 11 & 1 & 3 & 1\\[4pt] 0 & -2 & 1 & 4 \end{pmatrix}.
Para calcular \det(A_x) é conveniente expandir pela última linha (contém um zero). Expandindo pela linha 4:
\det(A_x)=(-2)\,C_{4,2}+1\cdot C_{4,3}+4\cdot C_{4,4},
onde C_{4,j}=(-1)^{4+j}\det(\text{menor }4,j). Fiz as contas detalhadas dos menores 3×3:
  • Menor ao remover linha 4 coluna 2:
\begin{vmatrix} -32 & 2 & 1\\[4pt] 14 & 7 & 9\\[4pt] 11 & 3 & 1 \end{vmatrix}=775.
  • Menor ao remover linha 4 coluna 3:
\begin{vmatrix} -32 & -4 & 1\\[4pt] 14 & -1 & 9\\[4pt] 11 & 1 & 1 \end{vmatrix}=5.
  • Menor ao remover linha 4 coluna 4:
\begin{vmatrix} -32 & -4 & 2\\[4pt] 14 & -1 & 7\\[4pt] 11 & 1 & 3 \end{vmatrix}=230.
Aplicando os sinais (lembrando de C_{4,2}=(-1)^{6}\det(\cdot)=+\det, C_{4,3}=(-1)^{7}\det(\cdot)=-\det, C_{4,4}=(-1)^{8}\det(\cdot)=+\det):
\det(A_x)=(-2)\cdot 775 - 1\cdot 5 + 4\cdot 230 = -1550 -5 +920 = -635.
Então
x=\frac{\det(A_x)}{\det(A)}=\frac{-635}{89}.]

Passo 6

Para y substituímos a 2ª coluna por b. A matriz A_y é
A_y= \begin{pmatrix} -1 & -32 & 2 & 1\\[4pt] 2 & 14 & 7 & 9\\[4pt] -1 & 11 & 3 & 1\\[4pt] 1 & 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}.
Expando pela última linha (tem um zero na coluna 2) e calculo os menores 3×3:
  • Menor (removendo linha 4 coluna 1):
\begin{vmatrix} -32 & 2 & 1\\[4pt] 14 & 7 & 9\\[4pt] 11 & 3 & 1 \end{vmatrix}=775.
  • Menor (removendo linha 4 coluna 3):
\begin{vmatrix} -1 & -32 & 1\\[4pt] 2 & 14 & 9\\[4pt] -1 & 11 & 1 \end{vmatrix}=473.
  • Menor (removendo linha 4 coluna 4):
\begin{vmatrix} -1 & -32 & 2\\[4pt] 2 & 14 & 7\\[4pt] -1 & 11 & 3 \end{vmatrix}=523.
Com os sinais apropriados (expansão pela linha 4: -\det(M_{4,1})+0-\det(M_{4,3})+4\det(M_{4,4})) obtemos
\det(A_y)=-775 -473 +4\cdot 523 = -1248 +2092 = 844.
Logo
y=\frac{\det(A_y)}{\det(A)}=\frac{844}{89}.]

Passo 7

Para z substituímos a 3ª coluna por b. A matriz A_z é
A_z= \begin{pmatrix} -1 & -4 & -32 & 1\\[4pt] 2 & -1 & 14 & 9\\[4pt] -1 & 1 & 11 & 1\\[4pt] 1 & -2 & 0 & 4 \end{pmatrix}.
Expando novamente pela última linha (que tem um zero na terceira coluna). Calculei os menores 3×3:
  • Menor (removendo linha 4 coluna 1):
\begin{vmatrix} -4 & -32 & 1\\[4pt] -1 & 14 & 9\\[4pt] 1 & 11 & 1 \end{vmatrix}=-5.
  • Menor (removendo linha 4 coluna 2):
\begin{vmatrix} -1 & -32 & 1\\[4pt] 2 & 14 & 9\\[4pt] -1 & 11 & 1 \end{vmatrix}=473.
  • Menor (removendo linha 4 coluna 4):
\begin{vmatrix} -1 & -4 & -32\\[4pt] 2 & -1 & 14\\[4pt] -1 & 1 & 11 \end{vmatrix}=137.
Aplicando os sinais na expansão (linha 4): -\det(M_{4,1})-2\det(M_{4,2})+4\det(M_{4,4}), obtemos
\det(A_z) = -(-5) -2\cdot 473 +4\cdot 137 = 5 -946 +548 = -393.
Portanto
z=\frac{\det(A_z)}{\det(A)}=\frac{-393}{89}.]

Passo 8

Para w substituímos a 4ª coluna por b. A matriz A_w é
A_w= \begin{pmatrix} -1 & -4 & 2 & -32\\[4pt] 2 & -1 & 7 & 14\\[4pt] -1 & 1 & 3 & 11\\[4pt] 1 & -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Expando pela última linha (aqui a última entrada é 0). Calculei os menores 3×3 necessários:
  • Menor (removendo linha 4 coluna 1):
\begin{vmatrix} -4 & 2 & -32\\[4pt] -1 & 7 & 14\\[4pt] 1 & 3 & 11 \end{vmatrix}=230.
  • Menor (removendo linha 4 coluna 2):
\begin{vmatrix} -1 & 2 & -32\\[4pt] 2 & 7 & 14\\[4pt] -1 & 3 & 11 \end{vmatrix}=-523.
  • Menor (removendo linha 4 coluna 3):
\begin{vmatrix} -1 & -4 & -32\\[4pt] 2 & -1 & 14\\[4pt] -1 & 1 & 11 \end{vmatrix}=137.
Com os sinais da expansão pela linha 4 (que dá -\det(M_{4,1}) -2\det(M_{4,2}) -\det(M_{4,3})) obtemos
\det(A_w) = -230 -2\cdot(-523) -137 = -230 +1046 -137 = 679.
Logo
w=\frac{\det(A_w)}{\det(A)}=\frac{679}{89}.]

Resposta

\displaystyle x=-\frac{635}{89}\
\displaystyle y=\frac{844}{89}\
\displaystyle z=-\frac{393}{89}\
\displaystyle w=\frac{679}{89}

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