\begin{aligned} &\text{Variáveis: }x,\;y,\;z,\;w.\\\ &\text{Cada equação é linear nas quatro variáveis.}\\\ &\text{A última equação foi escrita como }x-2y+z = -4w\text{ (portanto, ao passar para a forma usual, }x-2y+z+4w=0\text{).} \end{aligned}áçãéáúçã
O que precisamos encontrar: os valores de \;x,\;y,\;z,\;w\; que satisfazem todas as quatro equações.]
Passo 2
Breve explicação da regra de Cramer (a ferramenta que vamos usar).
\text{Se }A\text{ é a matriz dos coeficientes }(n\times n)\text{ e }b\text{ o vetor dos termos independentes,}é
e se \det(A)\neq 0, então o sistema A\mathbf{x}=b tem solução única dada por
onde A_i é a matriz obtida de A substituindo a i-ésima coluna por b.
Explicando os símbolos:
A=\text{matriz }n\times n\text{ dos coeficientes},\qquad b=\text{vetor coluna dos termos à direita},à
\det(A) é o determinante de A. Para calcular \det(A) podemos usar eliminação por linhas (fazendo operações elementares que preservam o determinante ou mudam por um sinal/fator) ou expansão por cofatores. Vou usar uma combinação de troca de linhas e eliminação para \det(A) e expansão por cofatores quando for conveniente.
Passo 3
Escrevemos a matriz dos coeficientes A (na ordem das incógnitas (x,y,z,w)) e o vetor b:
Observação: na quarta equação passamos o termo -4w para o lado esquerdo, ficando coeficiente de w igual a 4, e o termo independente igual a 0.]
Passo 4
Calculamos \det(A). Para simplificar, faço uma troca de linhas para ter um pivô 1 no início (troca R_1\leftrightarrow R_4); isso inverte o sinal do determinante: