Seja T: P_{2} \rightarrow P_{3} a transformação linear definida por T(p(t))=t p(t). Quais dos seguintes vetores estão na imagem de T ?
t^{2}-2 t

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T: P_{2} \to P_{3} definida por
T(p(t)) = t\,p(t).
A pergunta é: dentre os vetores (polinômios) propostos, quais estão na imagem de T. O polinômio que precisamos verificar é t^{2}-2t. Listei a informação relevante:
  • Domínio: espaço dos polinômios de grau até 2, isto é, P_{2} = \{\,a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}\mid a_{i}\in\mathbb{R}\,\}.
  • Contraparte: T multiplica qualquer polinômio por t, produzindo um polinômio em P_{3}.
  • Objetivo: verificar se existe p(t)\in P_{2} tal que T(p(t))=t^{2}-2t.

Passo 2

Vamos entender uma propriedade geral da imagem de T. Se p(t)\in P_{2} tem forma
p(t)=a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2},
então
T(p(t))=t\,p(t)=a_{0}t+a_{1}t^{2}+a_{2}t^{3}.
Note que qualquer polinômio da forma t\,p(t) tem fator t, logo seu termo constante (o coeficiente de t^{0}) é 0. Portanto, uma condição necessária (e suficiente) para um polinômio q(t)\in P_{3} estar na imagem de T é que q(t) seja divisível por t, isto é, que o coeficiente do termo constante seja zero.
Explicando de forma bem didática: multiplicar por t “puxa” todos os coeficientes um grau para cima e sempre zera o termo constante. Então só aparecem na imagem polinômios que têm t como fator.

Passo 3

Aplique o critério ao polinômio dado. Escrevemos
t^{2}-2t = t\,(t-2).
Aqui vemos explicitamente que t^{2}-2t é divisível por t, pois tem t como fator.

Passo 4

Como t^{2}-2t = t\,(t-2), podemos escolher
p(t)=t-2.
Verifique que p(t)\in P_{2}: é um polinômio de grau 1, portanto permitido. Agora calcule T(p(t)):
T(p(t))=t\cdot p(t)=t\,(t-2)=t^{2}-2t,
que é exatamente o polinômio que queremos obter. Assim existe p(t)\in P_{2} com T(p(t))=t^{2}-2t.

Passo 5

Comentário pedagógico e dica para a prova: quando T for "multiplicação por t", memorize que a imagem é o subespaço dos polinômios cujo termo constante é zero (ou, de outra forma, os polinômios divisíveis por t). Para verificar um candidato, basta fatorá-lo por t ou checar se o coeficiente constante é zero. Se for, sempre dá para encontrar p(t) dividindo por t.

Resposta

Sim: t^{2}-2t está na imagem de T.

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