Seja
a transformação linear definida por
. Quais dos seguintes vetores estão na imagem de
?
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
definida por
A pergunta é: dentre os vetores (polinômios) propostos, quais estão na imagem de
. O polinômio que precisamos verificar é
. Listei a informação relevante:
- Domínio: espaço dos polinômios de grau até
, isto é, . - Contraparte:
multiplica qualquer polinômio por , produzindo um polinômio em . - Objetivo: verificar se existe
tal que .
Passo 2
Vamos entender uma propriedade geral da imagem de
. Se
tem forma
então
Note que qualquer polinômio da forma
tem fator
, logo seu termo constante (o coeficiente de
) é
. Portanto, uma condição necessária (e suficiente) para um polinômio
estar na imagem de
é que
seja divisível por
, isto é, que o coeficiente do termo constante seja zero.
Explicando de forma bem didática: multiplicar por
“puxa” todos os coeficientes um grau para cima e sempre zera o termo constante. Então só aparecem na imagem polinômios que têm
como fator.
Passo 3
Aplique o critério ao polinômio dado. Escrevemos
Aqui vemos explicitamente que
é divisível por
, pois tem
como fator.
Passo 4
Como
, podemos escolher
Verifique que
: é um polinômio de grau
, portanto permitido. Agora calcule
:
que é exatamente o polinômio que queremos obter. Assim existe
com
.
Passo 5
Comentário pedagógico e dica para a prova: quando
for "multiplicação por
", memorize que a imagem é o subespaço dos polinômios cujo termo constante é zero (ou, de outra forma, os polinômios divisíveis por
). Para verificar um candidato, basta fatorá-lo por
ou checar se o coeficiente constante é zero. Se for, sempre dá para encontrar
dividindo por
.
Resposta
Sim:
está na imagem de
.