Seja
uma matriz
tal que
. Ache os valores de
para os quais
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
é uma matriz . - Vale
(peguei esta igualdade do enunciado).
O que se pede: - Encontrar os valores de
tais que .
Passo 2
Primeiro resultado útil: calcular
a partir de
.
Explicação didática (fórmula usada): para qualquer matriz quadrada
de ordem
vale
e
. Aplicando isso a
obtemos
Pela igualdade fornecida,
Agora usar a propriedade do determinante de um escalar vezes a identidade: se
e
é a identidade
, então
. Assim
Passo 3
Calcular
e isolar
.
Cálculo passo a passo:
, então
Portanto
, e
Comentário didático: o sinal
aparece porque a equação quadrática em
tem duas soluções reais; ambas são possíveis para o determinante.
Passo 4
Agora expressar
em termos de
e de
.
Fórmulas usadas:
- Para uma matriz
e escalar vale . - Para potências de matriz vale
.
Aplicando ao nosso caso (
e
):
Passo 5
Substituir o valor de
e resolver a equação
.
Primeiro avaliar
. Como
e
desaparece ao elevar à quarta potência,
Cálculo:
Portanto
. Substituindo em
e impondo que isso seja
,
Isolando
,
Passo 6
Resolver
.
Para achar
tomamos a raiz sexta de ambos os lados. Como
existem duas soluções reais (uma positiva e a oposta negativa), pois
. Assim
Explicação didática: a raiz
-ésima de um número positivo tem duas soluções reais (opostas) porque o expoente
é par; existem também quatro raízes complexas não reais, mas normalmente procuramos as soluções reais a menos que se peça as complexas explicitamente.