Seja A uma matriz 6 \times 6 tal que A A^{T}=\sqrt{2} I_{6}. Ache os valores de \alpha para os quais \operatorname{det}\left(\alpha A^{4}\right)=2.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A é uma matriz 6\times6.
  • Vale A A^{T}=\sqrt{2}\,I_{6} (peguei esta igualdade do enunciado).
    O que se pede:
  • Encontrar os valores de \alpha tais que \det\!\left(\alpha A^{4}\right)=2.

Passo 2

Primeiro resultado útil: calcular \det(A) a partir de A A^{T}=\sqrt{2}\,I_{6}.
Explicação didática (fórmula usada): para qualquer matriz quadrada M de ordem n vale \det(M^{T})=\det(M) e \det(MN)=\det(M)\det(N). Aplicando isso a A A^{T} obtemos
\det(AA^{T})=\det(A)\det(A^{T})=\det(A)^{2}.
Pela igualdade fornecida,
\det(AA^{T})=\det(\sqrt{2}\,I_{6}).
Agora usar a propriedade do determinante de um escalar vezes a identidade: se c\in\mathbb{R} e I_{n} é a identidade n\times n, então \det(cI_{n})=c^{n}. Assim
\det(\sqrt{2}\,I_{6})=(\sqrt{2})^{6}.

Passo 3

Calcular (\sqrt{2})^{6} e isolar \det(A).
Cálculo passo a passo: \sqrt{2}=2^{1/2}, então
(\sqrt{2})^{6}=(2^{1/2})^{6}=2^{6/2}=2^{3}=8.
Portanto \det(A)^{2}=8, e
\det(A)=\pm\sqrt{8}=\pm 2\sqrt{2}.
Comentário didático: o sinal \pm aparece porque a equação quadrática em \det(A) tem duas soluções reais; ambas são possíveis para o determinante.

Passo 4

Agora expressar \det(\alpha A^{4}) em termos de \alpha e de \det(A).
Fórmulas usadas:
  • Para uma matriz n\times n e escalar \alpha vale \det(\alpha M)=\alpha^{n}\det(M).
  • Para potências de matriz vale \det(M^{k})=\det(M)^{k}.
Aplicando ao nosso caso ( n=6 e M=A^{4}):
\det(\alpha A^{4})=\alpha^{6}\det(A^{4})=\alpha^{6}\big(\det(A)\big)^{4}.

Passo 5

Substituir o valor de \det(A) e resolver a equação \det(\alpha A^{4})=2.
Primeiro avaliar \big(\det(A)\big)^{4}. Como \det(A)=\pm 2\sqrt{2} e \pm desaparece ao elevar à quarta potência,
\big(\det(A)\big)^{4}=(2\sqrt{2})^{4}.
Cálculo:
2\sqrt{2}=2^{3/2}\quad\Rightarrow\quad(2^{3/2})^{4}=2^{(3/2)\cdot 4}=2^{6}=64.
Portanto \big(\det(A)\big)^{4}=64. Substituindo em \det(\alpha A^{4})=\alpha^{6}\big(\det(A)\big)^{4} e impondo que isso seja 2,
\alpha^{6}\cdot 64 = 2.
Isolando \alpha^{6},
\alpha^{6}=\frac{2}{64}=\frac{1}{32}=2^{-5}.

Passo 6

Resolver \alpha^{6}=2^{-5}.
Para achar \alpha tomamos a raiz sexta de ambos os lados. Como 2^{-5}>0 existem duas soluções reais (uma positiva e a oposta negativa), pois (-\beta)^{6}=\beta^{6}. Assim
\alpha=\pm\big(2^{-5}\big)^{1/6}=\pm 2^{-5/6}.
Explicação didática: a raiz 6-ésima de um número positivo tem duas soluções reais (opostas) porque o expoente 6 é par; existem também quatro raízes complexas não reais, mas normalmente procuramos as soluções reais a menos que se peça as complexas explicitamente.

Resposta

\alpha=2^{-5/6}
\alpha=-2^{-5/6}

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