Q5: A matriz que representa a reflexão através do plano 4 x+6 y+4 z=0 em \mathbb{R}^{3} pode ser obtida pelo seguinte cálculo:
(A) \left[\begin{array}{rrr}4 & 0 & 4 \\\\ 0 & -4 & 6 \\\\ -4 & 6 & 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{rrr}4 & 0 & 4 \\\\ 0 & -4 & 6 \\\\ -4 & 6 & 4\end{array}\right]^{-1}
(B) \left[\begin{array}{rrr}4 & 0 & 4 \\\\ 0 & -4 & 6 \\\\ -4 & 6 & 4\end{array}\right]^{-1}\left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{rrr}4 & 0 & 4 \\\\ 0 & -4 & 6 \\\\ -4 & 6 & 4\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{rrr}4 & 0 & 4 \\\\ 0 & -4 & 6 \\\\ -4 & 6 & 4\end{array}\right]^{-1}\left[\begin{array}{rrr}-1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{rrr}4 & 0 & 4 \\\\ 0 & -4 & 6 \\\\ -4 & 6 & 4\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{rrr}4 & 0 & 4 \\\\ 0 & -4 & 6 \\\\ -4 & 6 & 4\end{array}\right]^{-1}\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{rrr}4 & 0 & 4 \\\\ 0 & -4 & 6 \\\\ -4 & 6 & 4\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{rrr}4 & 0 & 4 \\\\ 0 & -4 & 6 \\\\ -4 & 6 & 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{rrr}4 & 0 & 4 \\\\ 0 & -4 & 6 \\\\ -4 & 6 & 4\end{array}\right]^{-1}
(F) \left[\begin{array}{rrr}4 & 0 & 4 \\\\ 0 & -4 & 6 \\\\ -4 & 6 & 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{rrr}-1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{rrr}4 & 0 & 4 \\\\ 0 & -4 & 6 \\\\ -4 & 6 & 4\end{array}\right]^{-1}

Passo 1

O enunciado pergunta qual das alternativas fornece a matriz que representa a reflexão através do plano \,4x+6y+4z=0\, em \mathbb{R}^3.
Foi dada uma matriz que aparece em todas as alternativas:
S=\begin{pmatrix}4 & 0 & 4 \\[4pt] 0 & -4 & 6 \\[4pt] -4 & 6 & 4\end{pmatrix}.
As alternativas envolvem combinações do tipo S, S^{-1} e matrizes diagonais como
D_1=\begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]0&1&0\\[4pt]0&0&-1\end{pmatrix},\qquad D_2=\begin{pmatrix}-1&0&0\\[4pt]0&1&0\\[4pt]0&0&0\end{pmatrix},\qquad P=\begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]0&1&0\\[4pt]0&0&0\end{pmatrix}.
O que precisamos decidir é qual expressão corresponde de fato à reflexão no plano dado.]

Passo 2

Conceito chave (aula rápida e prática): uma reflexão em \mathbb{R}^3 em relação a um plano tem estas propriedades lineares:
  • Todo vetor que pertence ao plano é deixado inalterado pela reflexão (ou seja, é autovetor com autovalor +1).
  • O vetor normal ao plano é enviado para o seu negativo (ou seja, é autovetor com autovalor -1).
Se conseguirmos uma base de \mathbb{R}^3 formada por dois vetores do plano e o vetor normal, a matriz da reflexão nessa base é diagonal com entradas (1,1,-1). Se S é a matriz cujas colunas são esses vetores da base escritos nas coordenadas padrão, então a matriz da reflexão na base canônica é
\text{(reflexão)} = S \; \begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]0&1&0\\[4pt]0&0&-1\end{pmatrix} S^{-1}.ã
Esse é o fato fundamental: conjugação por S converte a forma diagonal (na base própria) para a base canônica.]

Passo 3

Vamos identificar o vetor normal do plano \,4x+6y+4z=0. O vetor normal é
n=(4,6,4).
Agora observe as colunas da matriz S. Escrevendo-as:
v_1=\begin{pmatrix}4\\[4pt]0\\[4pt]-4\end{pmatrix},\quad v_2=\begin{pmatrix}0\\[4pt]-4\\[4pt]6\end{pmatrix},\quad v_3=\begin{pmatrix}4\\[4pt]6\\[4pt]4\end{pmatrix}.
Note que v_3=n — a terceira coluna de S é exatamente o vetor normal ao plano.]

Passo 4

Vamos verificar que v_1 e v_2 pertencem ao plano, isto é, são ortogonais a n. Calculamos os produtos internos (produto escalar):
n\cdot v_1 = (4,6,4)\cdot(4,0,-4)=4\cdot4+6\cdot0+4\cdot(-4)=16+0-16=0,
n\cdot v_2 = (4,6,4)\cdot(0,-4,6)=4\cdot0+6\cdot(-4)+4\cdot6=0-24+24=0.
Como os produtos escalares são zero, v_1 e v_2 estão no plano 4x+6y+4z=0. Portanto as três colunas de S formam uma base onde as duas primeiras são vetores do plano e a terceira é o normal.

Passo 5

Pelo Passo 2, nessa base a matriz da reflexão é diagonal com autovalores +1 para os vetores do plano e -1 para o normal. Assim a matriz diagonal apropriada é
D=\begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]0&1&0\\[4pt]0&0&-1\end{pmatrix}.
A matriz da reflexão na base canônica é, portanto,
S\,D\,S^{-1}.]

Passo 6

Compare esta forma S\,D\,S^{-1} com as alternativas. A alternativa que tem exatamente
\left[\begin{array}{rrr}4 & 0 & 4 \\[4pt] 0 & -4 & 6 \\[4pt] -4 & 6 & 4\end{array}\right] \left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & -1\end{array}\right] \left[\begin{array}{rrr}4 & 0 & 4 \\[4pt] 0 & -4 & 6 \\[4pt] -4 & 6 & 4\end{array}\right]^{-1}
é a alternativa (E). As outras alternativas trocam a ordem (como S^{-1}DS) ou usam diagonais distintas, portanto não coincidem com a matriz da reflexão que acabamos de deduzir.]

Passo 7

Recapitulando de forma leve: identificamos o vetor normal, vimos que ele é a terceira coluna de S, verificamos que as outras duas colunas ficam no plano, então a matriz diagonal dos autovalores é \operatorname{diag}(1,1,-1) e a conjugação por S nos dá a matriz da reflexão na base canônica — que é exatamente a alternativa (E).

Resposta

(E)

Exercícios relacionados