Q4: Seja A uma matriz quadrada n \times n com \operatorname{det} A=0. Considere as afirmativas abaixo:
I - Para todo \vec{b} o sistema linear A \vec{x}=\vec{b} possui solução.
II - O conjunto de colunas de A é linearmente independente.

Passo 1

O enunciado dá que A é uma matriz quadrada n\times n com \det A=0. Pede para avaliar as duas afirmativas:
I - Para todo \vec{b} o sistema linear A\vec{x}=\vec{b} possui solução.
II - O conjunto de colunas de A é linearmente independente.
Lista curta das informações úteis que temos:
  • A é n\times n.
  • \det A=0.
O que vai ser decidido: se cada uma das afirmativas I e II é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Vamos entender bem o que significa \det A=0. Existe um resultado padrão (vou explicar direto e devagar):
Definição e fato importante: dizemos que A é invertível quando existe A^{-1} tal que A^{-1}A=AA^{-1}=I.
Teorema (conexo): para matriz quadrada A vale
\det A \neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad A \text{ é invertível}.éí
Portanto, se \det A=0 então A não é invertível (também se diz que A é singular).
Intuição útil: se A não é invertível, a transformação linear associada a A “esmagou” o espaço \mathbb{R}^n para um subespaço próprio de dimensão menor; isto significa que as colunas de A não geram todo \mathbb{R}^n.

Passo 3

Agora avalio a afirmativa I com base no que vimos.
Lembrete: o sistema A\vec{x}=\vec{b} tem solução se e somente se \vec{b} pertence ao espaço gerado pelas colunas de A (o chamado “col(A)” ou imagem de A). Se A fosse invertível (isto é, \det A\neq0) então, para todo \vec{b}\in\mathbb{R}^n haveria solução única dada por \vec{x}=A^{-1}\vec{b}. Mas aqui \det A=0, então A não é invertível, logo não existe garantia de que as colunas de A gerem todo \mathbb{R}^n. Em outras palavras, pode haver vetores \vec{b} que não estão no espaço das colunas, nesses casos não existe solução.
Conclusão lógica: a afirmativa I (“para todo \vec{b} existe solução”) é falsa em geral quando \det A=0.

Passo 4

Para fixar na cabeça, vamos um contraexemplo numérico bem simples e mostrar as contas passo a passo.
Tome
A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix}.
Note que [\det A = 1\cdot 4 - 2\cdot 2 = 4-4=0), então \det A=0 como no enunciado. As colunas são \vec{c}_1=(1,2)^T e \vec{c}_2=(2,4)^T, e aqui \vec{c}_2=2\vec{c}_1 (elas são dependentes).
Considere \vec{b}=(0,1)^T. O sistema
\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\[4pt] x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[4pt] 1\end{pmatrix}
é equivalente ao par de equações
\begin{cases} x_1 + 2x_2 = 0,\\[4pt] 2x_1 + 4x_2 = 1. \end{cases}
Mas a segunda equação é exatamente duas vezes a primeira no lado esquerdo, então as duas equações do lado esquerdo são compatíveis entre si; do lado direito ficaríamos com 0\] na primeira e \(1 na segunda, o que dá contradição. Formalmente, multiplicando a primeira por 2 obtém-se 2x_1+4x_2=0, que não pode ser igual a 1. Logo não existe solução para esse \vec{b}. Isso mostra explicitamente que nem todo \vec{b} tem solução quando \det A=0.
Observação positiva: para outros \vec{b} (por exemplo \vec{b}=(3,6)^T, que é múltiplo de \vec{c}_1) o sistema tem infinitas soluções — é outra possibilidade quando \det A=0. Mas o importante é que existem \vec{b} sem solução, então I é falsa.]

Passo 5

Agora passo para a afirmativa II (“o conjunto de colunas de A é linearmente independente”).
Definição: um conjunto de vetores \{\vec{v}_1,\dots,\vec{v}_n\} é linearmente independente se a única solução do sistema
\alpha_1\vec{v}_1+\cdots+\alpha_n\vec{v}_n=\vec{0}
é \alpha_1=\cdots=\alpha_n=0. Se existir alguma escolha não trivial dos escalares \alpha_i que torna a soma zero, então os vetores são linearmente dependentes.
Teorema relacionado (muito usado): para matriz quadrada A de ordem n vale equivalência entre as seguintes afirmações:
  • \det A \neq 0.
  • A é invertível.
  • As colunas de A formam um conjunto de n vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^n.
  • As colunas de A geram \mathbb{R}^n (têm posto n).
Portanto, se \det A=0 (nosso caso) então as colunas não podem ser linearmente independentes; elas são necessariamente linearmente dependentes. Assim a afirmativa II é falsa.
Para reforçar com o exemplo anterior: nas colunas \vec{c}_1=(1,2)^T e \vec{c}_2=(2,4)^T temos a combinação -2\vec{c}_1+\vec{c}_2=\vec{0} com coeficientes não todos nulos, mostrando dependência linear.

Passo 6

Resumo do raciocínio final e motivação para prova: \det A=0 implica A não é invertível, o que implica que as colunas de A não formam uma base de \mathbb{R}^n — então elas são linearmente dependentes e não geram todo \mathbb{R}^n. Assim existem vetores \vec{b} para os quais A\vec{x}=\vec{b} não tem solução. Logo ambas as afirmativas I e II são falsas.

Resposta

I: Falsa.
II: Falsa.

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