Q4: Seja
uma matriz quadrada
com
. Considere as afirmativas abaixo:
I - Para todo
o sistema linear
possui solução.
II - O conjunto de colunas de
é linearmente independente.
I - Para todo
II - O conjunto de colunas de
Passo 1
O enunciado dá que
é uma matriz quadrada
com
. Pede para avaliar as duas afirmativas:
I - Para todo
o sistema linear
possui solução.
II - O conjunto de colunas de é linearmente independente.
II - O conjunto de colunas de
Lista curta das informações úteis que temos:
-
é . -
.
O que vai ser decidido: se cada uma das afirmativas I e II é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Vamos entender bem o que significa
. Existe um resultado padrão (vou explicar direto e devagar):
Definição e fato importante: dizemos que
é invertível quando existe
tal que
.
Teorema (conexo): para matriz quadrada vale
Teorema (conexo): para matriz quadrada
Portanto, se
então
não é invertível (também se diz que
é singular).
Intuição útil: se
não é invertível, a transformação linear associada a
“esmagou” o espaço
para um subespaço próprio de dimensão menor; isto significa que as colunas de
não geram todo
.
Passo 3
Agora avalio a afirmativa I com base no que vimos.
Lembrete: o sistema
tem solução se e somente se
pertence ao espaço gerado pelas colunas de
(o chamado “col(A)” ou imagem de
). Se
fosse invertível (isto é,
) então, para todo
haveria solução única dada por
. Mas aqui
, então
não é invertível, logo não existe garantia de que as colunas de
gerem todo
. Em outras palavras, pode haver vetores
que não estão no espaço das colunas, nesses casos não existe solução.
Conclusão lógica: a afirmativa I (“para todo
existe solução”) é falsa em geral quando
.
Passo 4
Para fixar na cabeça, vamos um contraexemplo numérico bem simples e mostrar as contas passo a passo.
Tome
Note que [\det A = 1\cdot 4 - 2\cdot 2 = 4-4=0), então
como no enunciado. As colunas são
e
, e aqui
(elas são dependentes).
Considere
. O sistema
é equivalente ao par de equações
Mas a segunda equação é exatamente duas vezes a primeira no lado esquerdo, então as duas equações do lado esquerdo são compatíveis entre si; do lado direito ficaríamos com
na segunda, o que dá contradição. Formalmente, multiplicando a primeira por
obtém-se
, que não pode ser igual a
. Logo não existe solução para esse
. Isso mostra explicitamente que nem todo
tem solução quando
.
Observação positiva: para outros
(por exemplo
, que é múltiplo de
) o sistema tem infinitas soluções — é outra possibilidade quando
. Mas o importante é que existem
sem solução, então I é falsa.]
Passo 5
Agora passo para a afirmativa II (“o conjunto de colunas de
é linearmente independente”).
Definição: um conjunto de vetores
é linearmente independente se a única solução do sistema
é
. Se existir alguma escolha não trivial dos escalares
que torna a soma zero, então os vetores são linearmente dependentes.
Teorema relacionado (muito usado): para matriz quadrada
de ordem
vale equivalência entre as seguintes afirmações:
-
. -
é invertível. - As colunas de
formam um conjunto de vetores linearmente independentes em . - As colunas de
geram (têm posto ).
Portanto, se
(nosso caso) então as colunas não podem ser linearmente independentes; elas são necessariamente linearmente dependentes. Assim a afirmativa II é falsa.
Para reforçar com o exemplo anterior: nas colunas
e
temos a combinação
com coeficientes não todos nulos, mostrando dependência linear.
Passo 6
Resumo do raciocínio final e motivação para prova:
implica
não é invertível, o que implica que as colunas de
não formam uma base de
— então elas são linearmente dependentes e não geram todo
. Assim existem vetores
para os quais
não tem solução. Logo ambas as afirmativas I e II são falsas.
Resposta
I: Falsa.
II: Falsa.
II: Falsa.