Q9: Suponha que numa certa cidade apenas chove, ou faz sol. Suponha também que se faz sol em um dia, há 55 \% de chance de fazer sol no dia seguinte. Por outro lado, dias chuvosos se sucedem com a probabilidade de 20 \%. Qual é a probabilidade aproximada que no primeiro dia de janeiro daqui a 20 anos o dia será ensolarado?
(A) 63.0 \%
(B) 64.0 \%
(C) 65.0 \%
(D) 66.0 \%
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade no futuro:
Informações dadas:
Em cada dia só pode acontecer “sol” ou “chuva” (dois estados).
Se hoje tem sol, a probabilidade de ter sol amanhã é \,0{,}55 (logo chuva amanhã tem probabilidade \,0{,}45).
Se hoje chove, a probabilidade de chover no dia seguinte é \,0{,}20 (logo sol amanhã tem probabilidade \,0{,}80).
O que se pede:
Qual é a probabilidade aproximada de que, no primeiro dia de janeiro daqui a \,20 anos, o dia seja ensolarado?
Observação importante para a resolução:
O enunciado não dá o tempo inicial (tempo zero) nem a condição do tempo atual, então a interpretação natural é que \,20 anos é um horizonte de tempo muito grande e a cadeia deve estar muito próxima da distribuição estacionária. Vamos usar isso e também explicar por que isso é válido.
Passo 2
Modelagem em cadeia de Markov de dois estados (explicando a montagem da matriz de transição).
Vamos rotular os estados assim: S= “sol” e R= “chuva”.
A matriz de transição P (colocando as linhas e colunas na ordem (S,R)) reúne as probabilidades dadas:
Aqui a entrada P_{ij} é a probabilidade de ir do estado da linha i para o estado da coluna j em um passo (um dia).]
Passo 3
Entendendo o que é a distribuição estacionária e por que ela importa (aula curta).
A distribuição estacionária \pi=(\pi_S,\pi_R) é um vetor de probabilidades que satisfaz
\pi=\pi P
e \pi_S+\pi_R=1.
Intuição: se a cadeia estiver nesta distribuição, ela “se repete” a cada passo; para cadeias irreducíveis e aperiódicas (aqui, com probabilidades positivas de ir de qualquer estado ao outro em alguns passos), qualquer distribuição inicial converge para \pi quando o número de passos cresce. Isso significa que, após muito tempo (como \,20 anos de muitos dias), a probabilidade de estar em “sol” estará muito próxima de \pi_S, independentemente do tempo inicial.
Passo 4
Cálculo explícito da distribuição estacionária (passo a passo das equações).
A equação \pi=\pi P para a componente S dá:
\pi_S = 0{,}55\,\pi_S + 0{,}80\,\pi_R.
Usamos também \pi_R=1-\pi_S. Substituindo:
\pi_S = 0{,}55\,\pi_S + 0{,}80(1-\pi_S).
Desenvolvendo e resolvendo para \pi_S:
\pi_S = 0{,}55\pi_S + 0{,}80 - 0{,}80\pi_S
\pi_S = 0{,}80 - 0{,}25\pi_S
\pi_S + 0{,}25\pi_S = 0{,}80
1{,}25\pi_S = 0{,}80
\pi_S = \dfrac{0{,}80}{1{,}25} = 0{,}64.
Portanto a distribuição estacionária dá probabilidade de sol igual a \pi_S=0{,}64 (ou 64\%).
Passo 5
Mostrando como a probabilidade em um dia n evolui (fórmula explícita) e por que em 20 anos já está praticamente em \pi.
Seja p_n= probabilidade de ter sol no dia n. Pela regra de transição:
Isto é uma recorrência linear de primeira ordem. A solução geral é soma da solução particular (a constante estacionária) mais a solução da homogênea:
p_n = 0{,}64 + C\cdot(-0{,}25)^n,
onde C é constante determinada pela condição inicial p_0.
Observação crucial: o fator multiplicativo da parte transitória é (-0{,}25)^n. Como |-0{,}25|=0{,}25<1, esse termo tende a zero quando n cresce, rapidamente.
Para \,20 anos contamos muitos dias. Se quisermos ser explícitos, \,20 anos \approx 20\times 365 = 7300 dias (coloquei o cálculo em número para mostrar que é um n enorme). Mesmo se usarmos n=7300,
\bigl|(-0{,}25)^{7300}\bigr| = 0{,}25^{7300},
que é absolutamente insignificante (próximo de zero numericamente). Assim p_n para n correspondendo a \,20 anos está tão próximo de 0{,}64 que, para todas as finalidades práticas (e para as alternativas propostas), podemos usar \,0{,}64.
Passo 6
Conclusão final e escolha entre as alternativas.
A probabilidade aproximada de que no primeiro dia de janeiro daqui a \,20 anos esteja ensolarado é \,0{,}64, ou seja \,64{,}0\%.