Informações relevantes dadas: todos os elementos da matriz estão explicitados acima. Dica do enunciado: calcular via escalonamento (eliminação por linhas). Não há outras perguntas.
Passo 2
Revisão rápida das regras que vamos usar (importantíssimo para não errar o sinal/valor do determinante):
Trocar duas linhas multiplica o determinante por -1.
Somar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante.
Multiplicar uma linha por um escalar c multiplica o determinante por c. (Evitar multiplicar linhas por escalares desnecessários para não ter que corrigir depois.)
Na eliminação abaixo usarei só trocas de linhas e somas de múltiplos de linhas, portanto só precisarei rastrear as trocas de linhas; somas não mudam o determinante.
Passo 3
Queremos um pivô não nulo na posição (1,1). Na matriz A original a entrada (1,1) é 0, portanto faço uma troca de linhas para trazer um 1 para cima: troco R_1 com R_2. Uma troca => multiplicamos o determinante por -1.
(Anote: já temos uma troca, então no final multiplicaremos o produto das diagonais por -1.)
Passo 4
Usamos o pivô \,1 em (1,1) para zerar as entradas abaixo na coluna 1. Aplicamos operações do tipo “linha := linha + \alpha·R_1” (essas operações não alteram o determinante):
Agora o pivô de interesse é a entrada (2,2)=3. Usamos R_2 para zerar as entradas abaixo em coluna 2, com operações do tipo “linha := linha + \beta·R_2” (novamente não mudam o determinante):
Precisamos zerar -6 em R_3, -3 em R_4 e 3 em R_5.
Para R_3: -6 + 2\cdot 3 = 0, então R_3 := R_3 + 2R_2.R_3 = (0,-6,-4,-5,-5) + 2(0,3,3,3,3) = (0,0,2,1,1).
Para R_4: -3 + 1\cdot 3 = 0, então R_4 := R_4 + R_2.R_4 = (0,-3,-3,-4,-1) + (0,3,3,3,3) = (0,0,0,-1,2).
Para R_5: 3 - 1\cdot 3 = 0, então R_5 := R_5 - R_2.R_5 = (0,3,3,2,1) - (0,3,3,3,3) = (0,0,0,-1,-2).
O pivô em (3,3) é \,2, e já não há elementos não nulos abaixo na coluna 3 (são zeros), então seguimos ao pivô em (4,4)=-1. Precisamos zerar a entrada em (5,4) que é -1. Fazemos R_5 := R_5 - R_4 (operação que não altera o determinante):
Para uma matriz triangular superior, o determinante é o produto das entradas da diagonal principal. Aqui as diagonais são \,1,\;3,\;2,\;-1,\;-4. O produto é
1\cdot 3\cdot 2\cdot (-1)\cdot (-4) = 24.
Lembre-se da troca de linhas inicial: fizemos exatamente uma troca (R_1\leftrightarrow R_2), que multiplica o determinante por -1. Portanto o determinante da matriz original A é