Q3: Calcule det \left(\left[\begin{array}{rrrrr}0 & 3 & 3 & 3 & 3 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ -2 & -8 & -6 & -7 & -7 \\\\ -1 & -4 & -4 & -5 & -2 \\\\ -2 & 1 & 1 & 0 & -1\end{array}\right]\right).
Dica: Calcule via escalonamento.
(A) -26
(B) -25
(C) -24
(D) -23
(E) -22
(F) -21
(G) -20
(H) -19

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o determinante da matriz 5\times5
A=\begin{pmatrix} 0 & 3 & 3 & 3 & 3 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ -2 & -8 & -6 & -7 & -7 \\\\ -1 & -4 & -4 & -5 & -2 \\\\ -2 & 1 & 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
Informações relevantes dadas: todos os elementos da matriz estão explicitados acima. Dica do enunciado: calcular via escalonamento (eliminação por linhas). Não há outras perguntas.

Passo 2

Revisão rápida das regras que vamos usar (importantíssimo para não errar o sinal/valor do determinante):
  • Trocar duas linhas multiplica o determinante por -1.
  • Somar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante.
  • Multiplicar uma linha por um escalar c multiplica o determinante por c. (Evitar multiplicar linhas por escalares desnecessários para não ter que corrigir depois.)
    Na eliminação abaixo usarei só trocas de linhas e somas de múltiplos de linhas, portanto só precisarei rastrear as trocas de linhas; somas não mudam o determinante.

Passo 3

Queremos um pivô não nulo na posição (1,1). Na matriz A original a entrada (1,1) é 0, portanto faço uma troca de linhas para trazer um 1 para cima: troco R_1 com R_2. Uma troca => multiplicamos o determinante por -1.
Após a troca R_1\leftrightarrow R_2 obtemos
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 3 & 3 & 3 & 3 \\\\ -2 & -8 & -6 & -7 & -7 \\\\ -1 & -4 & -4 & -5 & -2 \\\\ -2 & 1 & 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
(Anote: já temos uma troca, então no final multiplicaremos o produto das diagonais por -1.)

Passo 4

Usamos o pivô \,1 em (1,1) para zerar as entradas abaixo na coluna 1. Aplicamos operações do tipo “linha := linha + \alpha· R_1” (essas operações não alteram o determinante):
  • R_3 := R_3 + 2R_1. Cálculo componente a componente: R_3 = (-2,-8,-6,-7,-7) + 2(1,1,1,1,1) = (0,-6,-4,-5,-5).
  • R_4 := R_4 + R_1. R_4 = (-1,-4,-4,-5,-2) + (1,1,1,1,1) = (0,-3,-3,-4,-1).
  • R_5 := R_5 + 2R_1. R_5 = (-2,1,1,0,-1) + 2(1,1,1,1,1) = (0,3,3,2,1).
A matriz vira
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 3 & 3 & 3 & 3 \\\\ 0 & -6 & -4 & -5 & -5 \\\\ 0 & -3 & -3 & -4 & -1 \\\\ 0 & 3 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Agora o pivô de interesse é a entrada (2,2)=3. Usamos R_2 para zerar as entradas abaixo em coluna 2, com operações do tipo “linha := linha + \beta· R_2” (novamente não mudam o determinante):
Precisamos zerar -6 em R_3, -3 em R_4 e 3 em R_5.
  • Para R_3: -6 + 2\cdot 3 = 0, então R_3 := R_3 + 2R_2. R_3 = (0,-6,-4,-5,-5) + 2(0,3,3,3,3) = (0,0,2,1,1).
  • Para R_4: -3 + 1\cdot 3 = 0, então R_4 := R_4 + R_2. R_4 = (0,-3,-3,-4,-1) + (0,3,3,3,3) = (0,0,0,-1,2).
  • Para R_5: 3 - 1\cdot 3 = 0, então R_5 := R_5 - R_2. R_5 = (0,3,3,2,1) - (0,3,3,3,3) = (0,0,0,-1,-2).
A matriz fica então
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 3 & 3 & 3 & 3 \\\\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 0 & -1 & -2 \end{pmatrix}.

Passo 6

O pivô em (3,3) é \,2, e já não há elementos não nulos abaixo na coluna 3 (são zeros), então seguimos ao pivô em (4,4)=-1. Precisamos zerar a entrada em (5,4) que é -1. Fazemos R_5 := R_5 - R_4 (operação que não altera o determinante):
R_5 = (0,0,0,-1,-2) - (0,0,0,-1,2) = (0,0,0,0,-4).
Agora a matriz está em forma triangular superior:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 3 & 3 & 3 & 3 \\\\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -4 \end{pmatrix}.

Passo 7

Para uma matriz triangular superior, o determinante é o produto das entradas da diagonal principal. Aqui as diagonais são \,1,\;3,\;2,\;-1,\;-4. O produto é
1\cdot 3\cdot 2\cdot (-1)\cdot (-4) = 24.
Lembre-se da troca de linhas inicial: fizemos exatamente uma troca ( R_1\leftrightarrow R_2), que multiplica o determinante por -1. Portanto o determinante da matriz original A é
\det(A) = -1 \cdot 24 = -24.

Resposta

(C) -24

Exercícios relacionados